1.3.2.1函数的奇偶性
一、选择题
1．下列命题中错误的是( )
①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数
②奇函数的图象一定过原点
③偶函数的图象与y轴一定相交
④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
[答案] D
[解析] f(x)＝为奇函数，其图象不过原点，故②错；y＝为偶函数，其图象与y轴不相交，故③错．
2．如果奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(x)在(－∞，0)上( )
A．减函数
B．增函数
C．既可能是减函数也可能是增函数
D．不一定具有单调性
[答案] B
3．已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )
A．－15 B．15
C．10 D．－10
[答案] A
[解析] 解法1：f(－3)＝(－3)7＋a(－3)5＋(－3)b－5＝－(37＋a·35＋3b－5)－10＝－f(3)－10＝5，
∴f(3)＝－15.
解法2：设g(x)＝x7＋ax5＋bx，则g(x)为奇函数，
∵f(－3)＝g(－3)－5＝－g(3)－5＝5，
∴g(3)＝－10，∴f(3)＝g(3)－5＝－15.
4．若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3)f(1)
C．f(2)>f(3) D．f(－3)0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)的值等于( )
A．－1 B．1
C. D．－
[答案] A
[解析] ∵x>0时，f(x)＝2x－3，
∴f(2)＝22－3＝1，
又f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－1.
6．设f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在[1,2]上( )
A．为减函数，最大值为3
B．为减函数，最小值为－3
C．为增函数，最大值为－3
D．为增函数，最小值为3
[答案] D
[解析] ∵f(x)在[－2，－1]上为减函数，最大值为3，∴f(－1)＝3，
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[1,2]上为增函数，且最小值为f(1)＝f(－1)＝3.
7．(胶州三中高一模块测试)下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝x3 B．y＝－x2＋1
C．y＝|x|＋1 D．y＝2－|x|
[答案] C
[解析] 由偶函数，排除A；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B，D，故选C.
8．(09·辽宁文)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f(2x－1)f(2) D．不能确定
[答案] C
[解析] 由条件知，f(x)在(－∞，0)上为减函数，
∴f(－1)f(2)．
[点评] 也可以先求出f(x)在(0，＋∞)上解析式后求值比较，或利用奇函数图象对称特征画图比较．
二、填空题
11．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx的奇偶性为________．
[答案] 奇函数
[解析] 由f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数得b＝0，因此g(x)＝ax3＋cx，∴g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)是奇函数．
12．偶函数y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，则方程f(x)＝0的所有根之和为________．
[答案] 0
[解析] 由于偶函数图象关于y轴对称，且与x轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0.
三、解答题
13．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝.
[解析] (1)f(－x)＝，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)f(－x)＝≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数，又不是偶函数．
14．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
[解析] f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2
又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：
f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
15．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝，求函数f(x)的解析式．
[解析] 因为f(x)是奇函数且定义域为(－1,1)，
所以f(0)＝0，即b＝0.
又f＝，所以＝，
所以a＝1，所以f(x)＝.
16．定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)<0，求实数a的取值范围．
[解析] 由f(1－a)＋f(1－a2)<0及f(x)为奇函数得，f(1－a)0，
f(－x)＝－2(－x－1)2＋2＝－2(x＋1)2＋2，
∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝2(x＋1)2－2，
即f(x)＝，
其图象如图所示．
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