1.3.2.2函数性质的应用
一、选择题
1．已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数f(x＋8)为偶函数，则( )
A．f(6)>f(7) B．f(6)>f(9)
C．f(7)>f(9) D．f(7)>f(10)
[答案] D
[解析] ∵y＝f(x＋8)为偶函数，
∴y＝f(x)的图象关于直线x＝8对称，
又f(x)在(8，＋∞)上为减函数，
∴f(x)在(－∞，8)上为增函数，
∴f(10)＝f(6)0时，f(x)＝2x－1，则当x<0时，f(x)＝( )
A．2x－1 B．－2x＋1
C．2x＋1 D．－2x－1
[答案] D
[解析] x<0时，－x>0，∴f(－x)＝2·(－x)－1，
∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝－2x－1.
4．偶函数f(x)＝ax2－2bx＋1在(－∞，0]上递增，比较f(a－2)与f(b＋1)的大小关系( )
A．f(a－2)f(b＋1)
D．f(a－2)与f(b＋1)大小关系不确定
[答案] A
[解析] 由于f(x)为偶函数，∴b＝0，f(x)＝ax2－1，又在(－∞，0]上递增，∴a<0，因此，a－2<－1<0<1＝b＋1，∴f(a－2)0的解集为( )
A．(－∞，－2)
B．(2，＋∞)
C．(－2,0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(0,2)
[答案] C
[解析] 如图，∵x<0时，f(x)＝x＋2，又f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，可画出在(0，＋∞)上的图象，
∴f(x)>0时，－22.
6．对于函数f(x)＝，下列结论中正确的是( )
A．是奇函数，且在[0,1]上是减函数
B．是奇函数，且在[1，＋∞)上是减函数
C．是偶函数，且在[－1,0]上是减函数
D．是偶函数，且在(－∞，－1]上是减函数
[答案] D
[解析] 画出函数图象如图，可见此函数为偶函数，在(－∞，－1]上为减函数．
7．(曲师大附中2009～2010高一上期末)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(3)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－∞，3)∪(3，＋∞)
B．(－∞，3)
C．(3，＋∞)
D．(－3,3)
[答案] D
[解析] ∵f(x)为偶函数，f(3)＝0，∴f(－3)＝0，
又f(x)在(－∞，0]上是减函数，故－30，故03时，f(x)>0，故使f(x)<0成立的x∈(－3,3)．
[点评] 此类问题画示意图解答尤其简便，自己试画图解决．
8．(09·浙江)若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是( )
A．?a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．?a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C．?a∈R，f(x)是偶函数
D．?a∈R，f(x)是奇函数
[答案] C
[解析] 显见当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数，故选C.
[点评] 本题是找正确的选项，应从最简单的入手，故应从存在性选项考察．若详加讨论本题将变得复杂．
对于选项D，由f(－x)＝－f(x)得x＝0，故不存在实数a，使f(x)为奇函数；对于选项B，令a＝0，则f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调增，故B错；对于选项A，若结论成立，则对?x1，x2∈R，x1恒成立，这是不可能的．
9．(2010·安徽理，6)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
[答案] D
[解析] 若a<0，则只能是 A或B选项，A中－<0，∴b<0，从而c>0与A图不符；B中－>0，∴b>0，∴c<0与B图也不符；若a>0，则抛物线开口向上，只能是C或D选项，则当b>0时，有c>0与C、D不符．当b<0时，有c<0，此时－>0，且f(0)＝c<0，故选D.
10．(2010·广东文，10)在集合{a，b，c，d}上定义两种运算、?如下：
那么d?(ac)＝( )
A．a B．b
C．c D．d
[答案] A
[解析] 要迅速而准确地理解新规则，并能立即投入运用，ac＝c，d?c＝a，故选A.
二、填空题
11．已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A(0，－5)，B(5,0)，它的对称轴为直线x＝2，则这个二次函数的解析式为________．
[答案] y＝x2－4x－5
[解析] 设解析式为y＝a(x－2)2＋k，把(0，－5)和(5,0)代入得，∴a＝1，k＝－9，
∴y＝(x－2)2－9，即y＝x2－4x－5.
12．函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
[答案]
[解析] 解法1：f(x)＝a＋可视作反比例函数y＝经平移得到的．
由条件知1－2a<0，∴a>.
解法2：∵f(x)在(－2，＋∞)上为增函数，故对于任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x10，x2＋2>0，
若要f(x1)－f(x2)<0，
则必须且只需2a－1>0，故a>.
∴a的取值范围是.
三、解答题
13．设函数f(x)＝是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c的值．
[解析] 由条件知f(－x)＋f(x)＝0，∴＋＝0，
∴c＝0又f(1)＝2，∴a＋1＝2b，
∵f(2)<3，∴<3，∴<3，
解得：－12时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域和单调区间．
[解析] (1)当x>2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4.
∵f(x)的图象过点A(2,2)，
∴f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，∴a＝－2，
∴f(x)＝－2(x－3)2＋4.
设x∈(－∞，－2)，则－x>2，
∴f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.
又因为f(x)在R上为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝－2(－x－3)2＋4，
即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．
(2)图象如图所示．
(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}．
单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]．
单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．
*16.已知函数f(x)＝
(1)求函数的定义域；
(2)判断奇偶性；
(3)判断单调性；
(4)作出其图象，并依据图象写出其值域．
[解析] (1)函数的定义域为R.
(2)∵f(－x)＝＝－f(x)
∴f(x)是奇函数，其图象关于原点O对称，故在区间(0，＋∞)上研究函数的其它性质．
(3)单调性：设x1、x2∈(0，＋∞)且x10，
∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数，由于f(x)是奇函数，且f(0)＝0，因此，f(x)的减区间为(－∞，－1]、[1，＋∞)，增区间为[－1,1]．
并且当x→＋∞时，f(x)→0，图象与x轴无限接近．
其图象如图所示．可见值域为[－1,1]．
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