1.5 第2课时 正弦型、余弦型、正切型函数的图象与性质
一、选择题
1．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点，则φ可以是( )
A．－ B.
C．－ D.
[答案] A
[解析] 由条件知，tan＝0，
∴＋φ＝kπ，∴φ＝kπ－(k∈Z)，
令k＝0得φ＝－.
2．若函数y＝sin(2x＋θ)(0≤θ≤π)是R上的偶函数，则θ的值可以是( )
A．0 B.
C. D．π
[答案] C
[解析] ∵y＝sin(2x＋θ)为R上的偶函数，∴θ＝kπ＋(k∈Z)，∵0≤θ≤π，∴k＝0，θ＝.
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，|φ|<)的图象如图所示，则函数y的表达式是( )
A．y＝sin＋1
B．y＝sin－1
C．y＝sin＋1
D．y＝sin－1
[答案] A
[解析] 由图象最高点与最低点知，
A＝＝，k＝1，＝－＝，
∴T＝＝π，∴ω＝2，
∴y＝sin(2x＋φ)＋1，
将点代入得，
sin＋1＝，
∴sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，令k＝0得φ＝，故选A.
4．已知函数f(x)＝cos(x∈R，ω>0)的最小正周期为，为了得到函数g(x)＝sinωx的图象，只要将y＝f(x)的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
[答案] D
[解析] ∵f(x)最小正周期为，∴＝，∴ω＝4，∴f(x)＝cos＝cos4，g(x)＝sin4x＝cos＝cos＝cos4，
故须将f(x)的图象右移＋＝个单位长度．
5．函数f(x)＝3sin(3x＋φ)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－2，f(b)＝2，则g(x)＝2cos(2x＋φ)在[a，b]上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．可以取得最大值
D．可以取得最小值
[答案] C
[解析] 由f(x)在[a，b]上为增函数及f(a)＝－2，f(b)＝2知，g(x)在[a，b]上先增后减，可以取到最大值．
6．(2009～2010·北京通州区高一期末)函数f(x)＝2sin，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为( )
A．{x|x＝4kπ－π，k∈Z}
B．{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}
C．{x|x＝4kπ－，k∈Z}
D．{x|x＝4kπ＋，k∈Z}
[答案] A
[解析] 由－＝2kπ－得，x＝4kπ－，k∈Z，故选A.
7．欲得到函数y＝cosx的图象，须将函数y＝3cos2x的图象上各点( )
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的
C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的3倍
[答案] C
8．方程sin2x＝sinx在区间(0,2π)内解的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] 函数y＝sin2x与y＝sinx的图象交点个数等于方程解的个数．在同一坐标系内作出两个函数y＝sin2x，y＝sinx在(0,2π)内的图象，如图所示．由图象不难看出，它们有三个交点．所以方程sin2x＝sinx在(0,2π)内有三个解．故正确答案为C.
二、填空题
9．如图所示的是函数y＝2sin(ωx＋φ)(|φ|<)的图象，则ω＝________，φ＝________.
[答案] 2
[解析] 由已知y＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0,1)，
∴2sin(ω×0＋φ)＝1，即sinφ＝.
∵|φ|<，∴－<φ<，∴φ＝.
令ωx＋＝0，解得x＝－.
∴＋＝，∴ω＝2.
10．(2010·通州市模拟)若sinα＝，且α是第二象限角，则tanα＝________.
[答案] －
[解析] ∵sinα＝，α为第二象限角，
∴cosα＝－＝－，
∴tanα＝＝－.
11．若函数y＝cos(0<φ<π)的一条对称轴方程为x＝，则函数y＝sin(2x－φ)(0≤x<π)的单调增区间为________．
[答案] 或
[解析] ∵y＝cos的对称轴为x＝，
∴×＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－，
又0<φ<π，∴φ＝，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋得，
kπ－≤x≤kπ＋，
∵0≤x<π，
∴0≤x≤或≤x<π.
12．(2010·上海嘉定区模拟)如图所示，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A，则cosα－sinα＝________.
[答案] －
[解析] 由条件知，sinα＝，
∴cosα＝－，∴cosα－sinα＝－.
三、解答题
13．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求ω和φ的值．
[解析] ∵f(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，
∴φ＝＋kπ，k∈Z.
又∵0≤φ≤π，∴φ＝，
∴f(x)＝sin＝cosωx.
∵图象关于点对称，∴cosω＝0.
∴ω＝＋nπ，n∈Z.∴ω＝＋n，n∈Z.
又∵f(x)在区间上是单调函数，∴≥－0，
即×≥，∴ω≤2.
又∵ω>0，∴ω＝或ω＝2.
14．已知函数f(x)＝2sin＋a(其中a为常数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求出使f(x)取最大值时x的取值集合．
[解析] (1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数f(x)的单调减区间为(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴f(x)的最大值为2＋a＝4，∴a＝2.
(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，
∴2x＝＋2kπ，∴x＝＋kπ，k∈Z.
∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是
{x|x＝＋kπ，k∈Z}．
15．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)在同一个周期内的图象上有一个最大值点A和一个最小值点B.
(1)求f(x)的解析式；
(2)经过怎样的平移和伸缩变换可以将f(x)的图象变换为g(x)＝cosx的图象．
[解析] (1)由f(x)的最大值点A与最小值点B可知，A＝＝4，b＝＝－1，＝－＝，∴T＝＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝4cos(2x＋φ)－1.
将点A代入得：4cos－1＝3，
∴cos＝1，
∴＋φ＝2kπ (k∈Z)，∴φ＝2kπ－，
∵|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝4cos－1.
(2)依次按下列步骤变换：(一)将f(x)图象上各点向上平移1个单位；(二)将所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的；(三)将所得图象上各点左移个单位，即可得到g(x)＝cosx的图象．
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