选修2-2 1.6 微积分基本定理 一、选择题 1．下列积分正确的是(　　)
[答案]　A
A.　　 　 B.　　 　 C.　　 　 D. [答案]　A [解析]　－2dx＝－2x2dx＋－2dx ＝x3＋ ＝(x3－x－3) ＝－＝. 故应选A. 3.－1|x|dx等于(　　) A.－1xdx B.－1dx C.－1(－x)dx＋xdx D.－1xdx＋(－x)dx [答案]　C [解析]　∵|x|＝ ∴－1|x|dx＝－1|x|dx＋|x|dx ＝－1(－x)dx＋xdx，故应选C. 4．设f(x)＝，则f(x)dx等于(　　) A. B. C. D．不存在 [答案]　C [解析]　f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx 取F1(x)＝x3，F2(x)＝2x－x2， 则F′1(x)＝x2，F′2(x)＝2－x ∴f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1) ＝－0＋2×2－×22－＝.故应选C. 5.f′(3x)dx＝(　　) A．f(b)－f(a) B．f(3b)－f(3a) C.[f(3b)－f(3a)] D．3[f(3b)－f(3a)] [答案]　C [解析]　∵′＝f′(3x) ∴取F(x)＝f(3x)，则 f′(3x)dx＝F(b)－F(a)＝[f(3b)－f(3a)]．故应选C. 6.|x2－4|dx＝(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. [答案]　C [解析]　|x2－4|dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx ＝＋＝.
A．－ B．－ C. D. [答案]　D [解析]　∵1－2sin2＝cosθ
8．函数F(x)＝costdt的导数是(　　) A．cosx B．sinx C．－cosx D．－sinx [答案]　A [解析]　F(x)＝costdt＝sint＝sinx－sin0＝sinx. 所以F′(x)＝cosx，故应选A. 9．若(2x－3x2)dx＝0，则k＝(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．以上都不对 [答案]　C [解析]　(2x－3x2)dx＝(x2－x3)＝k2－k3＝0， ∴k＝0或1. 10．函数F(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上(　　) A．有最大值0，无最小值 B．有最大值0和最小值－ C．有最小值－，无最大值 D．既无最大值也无最小值 [答案]　B [解析]　F(x)＝(t2－4t)dt＝＝x3－2x2(－1≤x≤5)． F′(x)＝x2－4x，由F′(x)＝0得x＝0或x＝4，列表如下： x (－1,0) 0 (0,4) 4 (4,5)  F′(x) ＋ 0 － 0 ＋  F(x) 
 极大值 
极小值 
  可见极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－. 又F(－1)＝－，F(5)＝－ ∴最大值为0，最小值为－. 二、填空题 11．计算定积分： ①－1x2dx＝________ ②dx＝________ ③|x2－1|dx＝________ ④－|sinx|dx＝________ [答案]　；；2；1 [解析]　①－1x2dx＝x3＝. ②dx＝＝. ③|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx ＝＋＝2.

[答案]　1＋
13．(2010·陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________． [答案]　 [解析]　长方形的面积为S1＝3，S阴＝3x2dx＝x3＝1，则P＝＝. 14．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________. [答案]　－1或 [解析]　由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1， ∴－1f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4， ∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2. 即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或. 三、解答题 15．计算下列定积分： (1)2xdx；(2)(x2－2x)dx； (3)(4－2x)(4－x2)dx；(4)dx. [解析]　(1)2xdx＝x2＝25－0＝25. (2)(x2－2x)dx＝x2dx－2xdx ＝x3－x2＝－1＝－. (3)(4－2x)(4－x2)dx＝(16－8x－4x2＋2x3)dx ＝ ＝32－16－＋8＝. (4)dx＝dx ＝＝－3ln2. 16．计算下列定积分：
[解析]　(1)取F(x)＝sin2x，则F′(x)＝cos2x
＝＝(2－)． (2)取F(x)＝＋lnx＋2x，则 F′(x)＝x＋＋2. ∴2dx＝dx ＝F(3)－F(2) ＝－ ＝＋ln. (3)取F(x)＝x2－cosx，则F′(x)＝3x＋sinx
17．计算下列定积分： (1)－4|x＋2|dx； (2)已知f(x)＝
，求－1f(x)dx的值． [解析]　(1)∵f(x)＝|x＋2|＝
∴－4|x＋2|dx＝－(x＋2)dx＋－2(x＋2)dx ＝－＋ ＝2＋2＝4. (2)∵f(x)＝

∴－1f(x)dx＝－1f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx ＝＋ ＝＋＝1. 18．(1)已知f(a)＝(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值； (2)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a，b，c的值． [解析]　(1)取F(x)＝ax3－a2x2 则F′(x)＝2ax2－a2x ∴f(a)＝(2ax2－a2x)dx ＝F(1)－F(0)＝a－a2 ＝－2＋ ∴当a＝时，f(a)有最大值. (2)∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2① 又∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0② 而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx 取F(x)＝ax3＋bx2＋cx 则F′(x)＝ax2＋bx＋c ∴f(x)dx＝F(1)－F(0)＝a＋b＋c＝－2③ 解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.

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