选修2-2 1.7 定积分的简单应用
一、选择题
1．如图所示，阴影部分的面积为( )
A.f(x)dx B.g(x)dx
C.[f(x)－g(x)]dx D.[g(x)－f(x)]dx
[答案] C
[解析] 由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为[f(x)－g(x)]dx.
2．如图所示，阴影部分的面积是( )
A．2 B．2－
C. D.
[答案] C
[解析] S＝－3(3－x2－2x)dx
即F(x)＝3x－x3－x2，
则F(1)＝3－1－＝，
F(－3)＝－9－9＋9＝－9.
∴S＝F(1)－F(－3)＝＋9＝.故应选C.
3．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )
A.(x2－1)dx
B．|(x2－1)dx|
C.|x2－1|dx
D.(x2－1)dx＋(x2－1)dx
[答案] C
[解析] y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.
4．设f(x)在[a，b]上连续，则曲线f(x)与直线x＝a，x＝b，y＝0围成图形的面积为( )
A.f(x)dx B．|f(x)dx|
C.|f(x)|dx D．以上都不对
[答案] C
[解析] 当f(x)在[a，b]上满足f(x)<0时，f(x)dx<0，排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，f(x)dx是两面积之差，排除B；无论什么情况C对，故应选C.
5．曲线y＝1－x2与x轴所围图形的面积是( )
A．4 B．3
C．2 D.
[答案] B
[解析] 曲线与x轴的交点为，
故应选B.
6．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t
＝0s到t＝3s时间段内的位移是
( )
A．31m B．36m
C．38m D．40m
[答案] B
[解析] S＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)＝33＋32＝36(m)，故应选B.
7．(2010·山东理，7)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由得交点为(0,0)，(1,1)．
∴S＝(x2－x3)dx＝＝.
8．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为( )
A．8J B．10J
C．12J D．14J
[答案] D
[解析] 由变力做功公式有：W＝(4x－1)dx＝(2x2－x)＝14(J)，故应选D.
9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )
A. B．3－
C．6＋3 D．6－3
[答案] D
[解析] dt＝＝6－3，故应选D.
10．过原点的直线l与抛物线y＝x2－2ax(a>0)所围成的图形面积为a3，则直线l的方程为( )
A．y＝±ax B．y＝ax
C．y＝－ax D．y＝－5ax
[答案] B
[解析] 设直线l的方程为y＝kx，
由得交点坐标为(0,0)，(2a＋k,2ak＋k2)
图形面积S＝∫[kx－(x2－2ax)]dx
＝
＝－＝＝a3
∴k＝a，∴l的方程为y＝ax，故应选B.
二、填空题
11．由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________．
[答案] 18
[解析] 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．
因此所求图形的面积S＝－2(y＋4－)dy
取F(y)＝y2＋4y－，则F′(y)＝y＋4－，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.
12．一物体沿直线以v＝m/s的速度运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是________．
13．由两条曲线y＝x2，y＝x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________．
[答案]
[解析] 如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝交点B(2,1)，由对称性可知面积S＝2(x2dx＋dx－x2dx)＝.
14．一变速运动物体的运动速度v(t)＝
则该物体在0≤t≤e时间段内运动的路程为(速度单位：m/s，时间单位：s)______________________．
[答案] 9－8ln2＋
[解析] ∵0≤t≤1时，v(t)＝2t，∴v(1)＝2；
又1≤t≤2时，v(t)＝at，
∴v(1)＝a＝2，v(2)＝a2＝22＝4；
又2≤t≤e时，v(t)＝，
∴v(2)＝＝4，∴b＝8.
∴路程为S＝2tdt＋2tdt＋dt＝9－8ln2＋ .
三、解答题
15．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．
[解析] 由解得x＝0及x＝3.
从而所求图形的面积
S＝(x＋3)dx－(x2－2x＋3)dx
＝[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx
＝(－x2＋3x)dx
＝＝.
16．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)若直线x＝－t(0＜t＜1)把y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．
[解析] (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，
又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，
∴f(x)＝x2＋2x＋c.
又方程f(x)＝0有两个相等实根．
∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)依题意有(x2＋2x＋1)dx＝－t(x2＋2x＋1)dx，
∴＝
即－t3＋t2－t＋＝t3－t2＋t.
∴2t3－6t2＋6t－1＝0，
∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－ .
17．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点的速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：
(1)A、C间的距离；
(2)B、D间的距离；
(3)电车从A站到B站所需的时间．
[解析] (1)设A到C经过t1s，
由1.2t＝24得t1＝20(s)，
所以AC＝∫1.2tdt＝0.6t2＝240(m)．
(2)设从D→B经过t2s，
由24－1.2t2＝0得t2＝20(s)，
所以DB＝∫(24－1.2t)dt＝240(m)．
(3)CD＝7200－2×240＝6720(m)．
从C到D的时间为t3＝＝280(s)．
于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．
18．在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：
(1)切点A的坐标；
(2)过切点A的切线方程．
[解析] 如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过A点的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x－x.
令y＝0得x＝，即C.
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，
S＝S曲边△AOB－S△ABC.
S曲边△AOB＝∫x00x2dx＝x，
S△ABC＝|BC|·|AB|
＝·x＝x，
即S＝x－x＝x＝.
所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.
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