2013高考试题解析分类汇编（理数）14：导数与积分 一、选择题  ．（2013年高考湖北卷（理））已知为常数,函数有两个极值点,则 （　　） A． B． C． D． D 本题考查导数的应用，如何利用导数判断极值。函数有两个极值点，则有两个零点,即方程有两个根,有数形结合易知且.因为在上递增，所以，即，所以.故选D.  ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知函数,下列结论中错误的是 （　　） A．R, B．函数的图像是中心对称图形 C．若是的极小值点,则在区间上单调递减 D．若是的极值点,则 C 若则有，所以A正确。由得，因为函数的对称中心为（0,0），所以的对称中心为,所以B正确。由三次函数的图象可知，若是f(x)的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间（-∞, ）单调递减是错误的，D正确。选C.  ．（2013年高考江西卷（理））若则的大小关系为 （　　） A． B． C． D． B ， 本题考查微积分基本定理。,，。所以，选B.  ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））设函数 （　　） A．有极大值,无极小值 B．有极小值,无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 D 由已知，。在已知中令，并将代入，得；因为，两边乘以后令。求导并将（1）式代入，，显然时，，减；时，，增；并且由（2）式知，所以为的最小值，即，所以，在时得（仅在x=2时，f（x）的导数为零），所以为增函数，故没有极大值也没有极小值。  ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））设函数的定义域为R,是的极大值点,以下结论一定正确的是 （　　） A． B．是的极小值点 C．是的极小值点 D．是的极小值点 D A．，错误．是的极大值点，并不是最大值点． B．是的极小值点．错误．相当于关于y轴的对称图像，故应是的极大值点 C．是的极小值点．错误．相当于关于x轴的对称图像，故应是的极小值点．跟没有关系． D．是的极小值点．正确．相当于先关于y轴的对象，再关于x轴的对称图像．故D正确  ．（2013年高考湖北卷（理））一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(的单位:, 的单位:)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;)是 （　　） A． B． C． D． C 本题考查微积分的基本应用。由v(t)=7-3t+=0，解得，所以所求的路程为，选C.  ．（2013年高考北京卷（理））直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于 （　　） A． B．2 C． D． C 抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）， 因为直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直， 所以直线l的方程为y=1， 由 ，可得交点的横坐标分别为﹣2，2． 所以直线l与抛物线围成的封闭图形面积为 =（ x﹣）|=． 故选C．   ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知为自然对数的底数,设函数,则 （　　） A．当时,在处取得极小值 B．当时,在处取得极大值 C．当时,在处取得极小值 D．当时,在处取得极大值 C ：当k=2时，函数f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）2． 求导函数可得f'（x）=ex（x﹣1）2+2（ex﹣1）（x﹣1）=（x﹣1）（xex+ex﹣2），所以当x=1，f'（x）=0，且当x＞1时，f'（x）＞0，当＜x＜1时，f'（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数； 在（，1）上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得极小值．对照选项． 故选C．  二、填空题  ．（2013年高考江西卷（理））设函数在内可导,且,则______________ 2 本题考查导数的基本运算如求值。令，则，所以函数为，即，所以，即。  ．（2013年高考湖南卷（理））若_________. 3 本题考查积分的基本运算。,即，解得. ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））若曲线在点处的切线平行于轴,则______.  ；求导得,依题意,所以. ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））当时,有如下表达式: 两边同时积分得: 从而得到如下等式: 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:   由 两边同时积分得： 从而得到如下等式：  ．（2013年高考新课标1（理））若函数=的图像关于直线对称,则的最大值是______. 16. 因为函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称， 所以将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位，得函数y=f（x﹣2）的图象关于x=0对称， 可得f（x﹣2）=[1﹣（x﹣2）2][（x﹣2）2+a（x﹣2）+b]是偶函数 设g（x）=f（x﹣2）=﹣x4+（8﹣a）x3+（12a﹣b﹣23）x2+（28﹣11a+4b）x+8a﹣4b 因为g（﹣x）=g（x）， 所以，解之得 因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15 求导数，得f'（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8 令f'（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+ 当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f'（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f'（x）＜0； 当x∈（﹣2，﹣2+）时，f'（x）＞0； 当x∈（﹣2+，+∞）时，f'（x）＜0 所以f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数 又因为f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16 所以f（x）的最大值为16 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））若函数在是增函数,则的取值范围是 (A) (B) (C) (D) D 因为在（，+∞）上是增函数 故≥0在（，+∞）上恒成立 即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立 令h（x）=﹣2x， 则h′（x）=﹣﹣2 当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数 所以h（x）＜h（）=3 所以a≥3 故选D 三、解答题 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知函数. (Ⅰ)设是的极值点,求,并讨论的单调性; (Ⅱ)当时,证明.  ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知函数 (I)求证: (II)若恒成立,求实数取值范围. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.     ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分16分. 设函数,,其中为实数. (1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围; (2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论. 卷Ⅱ 附加题部分答案word版 [选做题]第21题,本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解:(1)由即对恒成立,∴ 而由知<1 ∴ 由令则 当<时<0,当>时>0, ∵在上有最小值 ∴>1 ∴> 综上所述:的取值范围为 (2)证明:∵在上是单调增函数 ∴即对恒成立, ∴ 而当时,> ∴ 分三种情况: (Ⅰ)当时, >0 ∴f(x)在上为单调增函数 ∵ ∴f(x)存在唯一零点 (Ⅱ)当<0时,>0 ∴f(x)在上为单调增函数 ∵<0且>0 ∴f(x)存在唯一零点 (Ⅲ)当0<时,,令得 ∵当0<<时,>0;>时,<0 ∴为最大值点,最大值为 ①当时,,,有唯一零点 ②当>0时,0<,有两个零点 实际上,对于0<,由于<0,>0 且函数在上的图像不间断 ∴函数在上有存在零点 另外,当,>0,故在上单调增,∴在只有一个零点 下面考虑在的情况,先证<0 为此我们要证明:当>时,>,设 ,则,再设 ∴ 当>1时,>-2>0,在上是单调增函数 故当>2时,>>0 从而在上是单调增函数,进而当>时,>>0 即当>时,>, 当0<<时,即>e时,<0 又>0 且函数在上的图像不间断, ∴函数在上有存在零点,又当>时,<0故在上是单调减函数∴函数在只有一个零点 综合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:当时,的零点个数为1;当0<<时,的零点个数为2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设函数(其中). (Ⅰ) 当时,求函数的单调区间; (Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值. (Ⅰ) 当时, , 令,得, 当变化时,的变化如下表:                 极大值  极小值    右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,. (Ⅱ) ,令,得,, 令,则,所以在上递增, 所以,从而,所以 所以当时,;当时,; 所以 令,则,令,则 所以在上递减,而 所以存在使得,且当时,,当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减. 因为,,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”. 综上,函数在上的最大值. www.zxsx.com ．（2013年高考江西卷（理））已知函数,为常数且. (1) 证明:函数的图像关于直线对称; (2) 若满足,但,则称为函数的二阶周期点,如果有两个二阶周期点试确定的取值范围; (3) 对于(2)中的和, 设x3为函数f(f(x))的最大值点,A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0),记△ABC的面积为S(a),讨论S(a)的单调性. (1)证明:因为,有, 所以函数的图像关于直线对称. (2)解:当时,有  所以只有一个解,又,故0不是二阶周期点. 当时,有  所以有解集,又当时,,故中的所有点都不是二阶周期点. 当时,有 所以有四个解,又, ,故只有是的二阶周期点.综上所述,所求 的取值范围为. (3)由(2)得, 因为为函数的最大值点,所以或. 当时,.求导得:, 所以当时,单调递增,当时单调递减; 当时,,求导得:, 因,从而有, 所以当时单调递增. ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））设,其中,曲线在点处的切线与轴相交于点. (1)确定的值; (2)求函数的单调区间与极值.   ．（2013年高考四川卷（理））已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且. (Ⅰ)指出函数的单调区间; (Ⅱ)若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,求的最小值; (Ⅲ)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围. 解:函数的单调递减区间为,单调递增区间为, 由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,故当点A处的切线与点B处的切垂直时,有. 当时,对函数求导,得. 因为,所以, 所以. 因此 当且仅当==1,即时等号成立. 所以函数的图象在点处的切线互相垂直时,的最小值为1 当或时,,故. 当时,函数的图象在点处的切线方程为 ,即 当时,函数的图象在点处的切线方程为 ,即. 两切线重合的充要条件是 由①及知,. 由①②得,. 设, 则. 所以是减函数. 则, 所以. 又当且趋近于时,无限增大,所以的取值范围是. 故当函数的图像在点处的切线重合时,的取值范围是 ．（2013年高考湖南卷（理））已知,函数. (I)记求的表达式; (II)是否存在,使函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)     (II)由前知,y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的.因此,若在图像上存在两点满足题目要求,则P,Q分别在两个图像上,且.  不妨设   所以,当时,函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直. ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知函数 (1)当时,求曲线在点处的切线方程; (2)求函数的极值. 解:函数的定义域为,. (Ⅰ)当时,,, , 在点处的切线方程为, 即. (Ⅱ)由可知: ①当时,,函数为上的增函数,函数无极值; ②当时,由,解得; 时,,时, 在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上:当时,函数无极值 当时,函数在处取得极小值,无极大值. ．（2013年高考新课标1（理））(本小题满分共12分)已知函数=,=,若曲线和曲线都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线 (Ⅰ)求,,,的值;(Ⅱ)若≥-2时,≤,求的取值范围. (Ⅰ)由已知得, 而=,=,∴=4,=2,=2,=2; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,,, 设函数==(), ==, 有题设可得≥0,即, 令=0得,=,=-2, (1)若,则-2<≤0,∴当时,<0,当时,>0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而==≥0, ∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立, (2)若,则=, ∴当≥-2时,≥0,∴在(-2,+∞)单调递增,而=0, ∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立, (3)若,则==<0, ∴当≥-2时,≤不可能恒成立, 综上所述,的取值范围为[1,]. ．（2013年高考湖北卷（理））设是正整数,为正有理数. (I)求函数的最小值; (II)证明:; (III)设,记为不小于的最小整数,例如,,.令,求的值. (参考数据:,,,) 证明:(I) 在上单减,在上单增.  (II)由(I)知:当时,(就是伯努利不等式了) 所证不等式即为: 若,则 ① , ,故①式成立. 若,显然成立.  ② , ,故②式成立. 综上可得原不等式成立. (III)由(II)可知:当时,    ．（2013年高考陕西卷（理））已知函数. (Ⅰ) 若直线y=kx+1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; (Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y=f (x) 与曲线 公共点的个数. (Ⅲ) 设a 0,m > 0 时, 曲线y=f (x) 与曲线 的公共点个数即方程 根的个数. 由, 则 h(x)在 h(x).  所以对曲线y=f (x) 与曲线 公共点的个数,讨论如下: 当m 时,有0个公共点;当m= ,有1个公共点;当m 有2个公共点; (Ⅲ) 设  令. ,且 .   所以 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设函数(=2.71828是自然对数的底数,). (Ⅰ)求的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于的方程根的个数. 解:(Ⅰ), 由,解得, 当时,,单调递减 所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是, 最大值为 (Ⅱ)令  (1)当时,,则, 所以, 因为, 所以  因此在上单调递增. (2)当时,当时,,则, 所以, 因为,,又 所以 所以  因此在上单调递减. 综合(1)(2)可知 当时,, 当,即时,没有零点, 故关于的方程根的个数为0; 当,即时,只有一个零点, 故关于的方程根的个数为1; 当,即时, ①当时,由(Ⅰ)知  要使,只需使,即; ②当时,由(Ⅰ)知 ; 要使,只需使,即; 所以当时,有两个零点,故关于的方程根的个数为2; 综上所述: 当时,关于的方程根的个数为0; 当时,关于的方程根的个数为1; 当时,关于的方程根的个数为2. ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知,函数 (1)求曲线在点处的切线方程;(2)当时,求的最大值. 解:(Ⅰ)由已知得:,且,所以所求切线方程为:,即为:; (Ⅱ)由已知得到:,其中,当时,, (1)当时,,所以在上递减,所以,因为; (2)当,即时,恒成立,所以在上递增,所以,因为 ; (3)当,即时,  ,且,即        2    + 0 - 0 +     递增 极大值 递减 极小值 递增   所以,且 所以, 所以; 由,所以 (ⅰ)当时,,所以时,递增,时,递减,所以,因为 ,又因为,所以,所以,所以 (ⅱ)当时,,所以,因为,此时,当时,是大于零还是小于零不确定,所以 ① 当时,,所以,所以此时; ② 当时,,所以,所以此时 综上所述:. ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知函数 (I)若时,,求的最小值; (II)设数列  ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数. (Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使. (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.   ．（2013年高考北京卷（理））设L为曲线C:在点(1,0)处的切线. (I)求L的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方. 解: (I)设,则.所以.所以L的方程为. (II)令,则除切点之外,曲线C在直线的下方等价于. 满足,且. 当时,,,所以,故单调递减; 当时,,,所以,故单调递增. 所以,(). 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方. 又解:即变形为,记,则, 所以当时,,在(0,1)上单调递减; 当时,,在(1,+∞)上单调递增. 所以.)
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