【精选三年经典试题（数学）】2014届高三全程必备《高频题型全掌握系列》15.圆锥曲线中的定值、最值、范围等常考问题 1.（2013届北京丰台区一模）已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C过P(2，)，直线：y=kx+m(k≠0)交椭圆C于不同的两点A，B。 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0,3）？若存在求出 k的取值范围；若不存在，请说明理由。 【答案】（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意高考资源网 ，解得，，所以椭圆C的方程为. …………5分 （Ⅱ）假设存在斜率为k的直线，其垂直平分线经过点Q（0,3）， 设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点为N(x0,y0), 由得, …………………6分 ，所以,…7分 , ，, ……………8分 线段AB的垂直平分线过点Q（0,3）， ，即，，…………10分  ， 整理得，显然矛盾不存在满足题意的k的值。………13分 高考资源网 2.（湖北省重点中学联考）已知圆：（）.若椭圆：（）的右顶点为圆的圆心，离心率为. （I）求椭圆的方程； （II）若存在直线：，使得直线与椭圆分别交于，两点，与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求圆半径的取值范围. 【答案】（I）设椭圆的焦距为， 因为，，所以，所以. 所以椭圆：………………4分 （II）设（，），(，) 由直线与椭圆交于两点，，则 所以 ，则，………………6分 所以………………7分 点（，0）到直线的距离 则………………9分 显然，若点也在线段上，则由对称性可知，直线就是轴，矛盾， 所以要使，只要 所以 ………………11分 当时，………………12分 当时， 又显然, 所以 综上，………………14分 3.（云南师大附中2013届高三高考适应性月考）已知椭圆的焦距为4，设右焦点为，离心率为． （1）若，求椭圆的方程； （2）设、为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上． ①证明点在定圆上； ②设直线的斜率为，若，求的取值范围． 【答案】解：（Ⅰ）由，c=2，得，b=2 , 所求椭圆方程为. …………………………………………（4分） （Ⅱ）设，则， 故，. ① 由题意，得. 化简，得，所以点在以原点为圆心，2为半径的圆上. ……………（8分） ② 设，则. 将，，代入上式整理， 得 因为，k2>0，所以， 所以 ． 化简，得 解之，得， 故离心率的取值范围是. …………………（12分） 高考资源网 高考资源网，您身边的高考专家。
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