【精选三年经典试题(数学)】2014届高三全程必备《高频题型全掌握系列》15.圆锥曲线中的定值、最值、范围等常考问题
1.(2013届北京丰台区一模)已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C过P(2,),直线:y=kx+m(k≠0)交椭圆C于不同的两点A,B。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存在实数k,使线段AB的垂直平分线经过点Q(0,3)?若存在求出 k的取值范围;若不存在,请说明理由。
【答案】(Ⅰ)设椭圆C的方程为,由题意高考资源网
,解得,,所以椭圆C的方程为. …………5分
(Ⅱ)假设存在斜率为k的直线,其垂直平分线经过点Q(0,3),
设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点为N(x0,y0),
由得, …………………6分
,所以,…7分
,
,, ……………8分
线段AB的垂直平分线过点Q(0,3),
,即,,…………10分
,
整理得,显然矛盾不存在满足题意的k的值。………13分
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2.(湖北省重点中学联考)已知圆:().若椭圆:()的右顶点为圆的圆心,离心率为.
(I)求椭圆的方程;
(II)若存在直线:,使得直线与椭圆分别交于,两点,与圆分别交于,两点,点在线段上,且,求圆半径的取值范围.
【答案】(I)设椭圆的焦距为,
因为,,所以,所以.
所以椭圆:………………4分
(II)设(,),(,)
由直线与椭圆交于两点,,则
所以 ,则,………………6分
所以………………7分
点(,0)到直线的距离
则………………9分
显然,若点也在线段上,则由对称性可知,直线就是轴,矛盾,
所以要使,只要
所以
………………11分
当时,………………12分
当时,
又显然, 所以
综上,………………14分
3.(云南师大附中2013届高三高考适应性月考)已知椭圆的焦距为4,设右焦点为,离心率为.
(1)若,求椭圆的方程;
(2)设、为椭圆上关于原点对称的两点,的中点为,的中点为,若原点在以线段为直径的圆上.
①证明点在定圆上;
②设直线的斜率为,若,求的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)由,c=2,得,b=2 ,
所求椭圆方程为. …………………………………………(4分)
(Ⅱ)设,则,
故,.
① 由题意,得.
化简,得,所以点在以原点为圆心,2为半径的圆上. ……………(8分)
② 设,则.
将,,代入上式整理,
得
因为,k2>0,所以,
所以 .
化简,得
解之,得,
故离心率的取值范围是. …………………(12分)
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