2．1平面向量的实际背景及基本概念 一、选择题 1．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有(　　)
A．6个　 B．7个 C．8个 D．9个 [答案]　D [解析]　与向量共线的向量有：，，，，，，，，，故共有9个． 2．在下列判断中，正确的是(　　) ①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线． A．①②③ B．②③④ C．①②⑤ D．①③⑤ [答案]　D [解析]　由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D. 3．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 [答案]　C [解析]　∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形， 又∵||＝||，∴四边形为菱形． 4．已知圆心为O的⊙O上三点A、B、C，则向量、、是(　　) A．有相同起点的相等向量 B．长度为1的向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 [答案]　C [解析]　圆的半径r＝||＝||＝||不一定为1，故选C. 5．下列关于向量的结论： (1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； (2)向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； (3)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量； (4)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b. 其中正确的序号为(　　) A．(1)(2) B．(2)(3) C．(4) D．(3) [答案]　D [解析]　(1)中只知|a|＝|b|，a与b的方向不知，故(1)不对；不要让实数的性质|x|＝a，则x＝±a，错误迁移到向量中来． (2)没告诉是非零向量，故(2)不对，因为零向量的方向是任意的． (3)正确．对于任一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同． (4)向量与数不同，向量不能比较大小． 6．四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是(　　)
A．||＝|| B.与共线 C.与共线 D.与共线 [答案]　C [解析]　∵三个四边形都是菱形，∴||＝||，AB∥CD∥FH，故与共线，又三点D、C、E共线，∴与共线，故A、B、D都正确．当ABCD与其它两个菱形不共面时，BD与EH异面． 7．下列命题正确的是(　　) A．向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线 B．向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线 C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线 D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 [答案]　D [解析]　当b＝0时，A不对；如图a＝，c＝，b与a，b与c均不共线，但a与c共线，∴B错．
在?ABCD中，与共线，但四点A、B、C、D不共线，∴C错； 若a与b有一个为零向量，则a与b一定共线，∴a，b不共线时，一定有a与b都是非零向量，故D正确． 8．下列说法正确的是(　　) ①向量与是平行向量，则A、B、C、D四点一定不在同一直线上 ②向量a与b平行，且|a|＝|b|≠0，则a＋b＝0或a－b＝0 ③向量的长度与向量的长度相等 ④单位向量都相等 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ [答案]　D [解析]　对于①，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以是重合的，故①错． 对于②，由于|a|＝|b|≠0，∴a，b都是非零向量，∵a∥b，∴a与b方向相同或相反，∴a＋b＝0或a－b＝0. 对于③，向量与向量方向相反，但长度相等． 对于④，单位向量不仅仅长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等而且方向相同．选D. 二、填空题 9．如图ABCD是菱形，则在向量、、、、和中，相等的有________对．
[答案]　2 [解析]　＝，＝.其余不等． 10．给出下列各命题： (1)零向量没有方向； (2)若|a|＝|b|，则a＝b； (3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段； (5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同； (6)若a＝b，b＝c，则a＝c； (7)若a∥b，b∥c，则a∥c； (8)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，＝. 其中正确命题的序号是________． [答案]　(5)(6) [解析]　(1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定； (2)该命题不正确，|a|＝|b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同； (3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求； (4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来； (5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合； (6)该命题正确．由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c； (7)该命题不正确．因若b＝0，则对两不共线的向量a与c，也有a∥0,0∥c，但a∥\ c； (8)该命题不正确．如图所示，显然有≠，≠.
11．已知A、B、C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________. [答案]　0 [解析]　∵A、B、C不共线，∴与不共线， 又∵m与、都共线，∴m＝0. 三、解答题 12．如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．
在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)写出与的模相等的向量； (4)向量与是否相等？ [解析]　(1)＝，＝； (2)与共线的向量为：，，； (3)||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||； (4)不相等． 13．如图所示，四边形ABCD中，＝，N、M是AD、BC上的点，且＝.
求证：＝. [解析]　∵＝， ∴||＝||且AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形．∴||＝||，且DA∥CB. 又∵与的方向相同，
∴＝. 同理可证：四边形CNAM是平行四边形，∴＝. ∵||＝||，||＝||， ∴||＝||，DN∥MB，即与的模相等且方向相同．∴＝. 14．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个； (2)与平行且模为的向量共有几个？ (3)与方向相同且模为3的向量共有几个？ [分析]　非零向量平行(共线)包括两种情况：一种是方向相同，另一种是方向相反． [解析]　(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)． (2)与向量平行且模为的向量共有24个． (3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个． 15．如图所示，已知?ABCD，?AOBE，?ACFB，?ACGD，?ACDH，点O是?ABCD的对角线交点，且＝a，＝b，＝c.
(1)写出图中与a相等的向量； (2)写出图中与b相等的向量； (3)写出图中与c相等的向量． [解析]　(1)在?OAEB中，＝＝a；在?ABCD中，＝＝a，所以a＝＝. (2)在?ABCD中，＝＝b；在?AOBE中，＝＝b，所以b＝＝. (3)在?ABCD中，＝＝c；在?ACGD中，＝＝c，所以c＝＝. 16．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？ [解析]　如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形，
∴AC＝2000km. 又∵∠ACD＝45°，CD＝1000，∴△ACD为直角三角形， 即AD＝1000km，∠CAD＝45°. 答：丁地在甲地的东南方向，距甲地1000km.

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