选修2-2 2.1.2 演绎推理 一、选择题 1．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是(　　) A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案]　B [解析]　由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B. 2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是(　　) A．大前提错　　　　　　　 B．小前提错 C．结论错 D．正确的 [答案]　D [解析]　前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D. 3．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(　　) A．类比推理 B．归纳推理 C．演绎推理 D．一次三段论 [答案]　C [解析]　这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式． 4．“因对数函数y＝logax(x>0)是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)”．上面推理的错误是(　　) A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错 [答案]　A [解析]　对数函数y＝logax不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的． 5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是(　　) A．① B．② C．③ D．①② [答案]　B [解析]　由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B. 6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是(　　) A．① B．② C．①② D．③ [答案]　B [解析]　易知应为②.故应选B. 7．“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理(　　) A．大前提错 B．小前提错 C．推论过程错 D．正确 [答案]　C [解析]　大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C. 8．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理(　　) A．正确 B．推理形式正确 C．两个自然数概念不一致 D．两个整数概念不一致 [答案]　A [解析]　三段论的推理是正确的．故应选A. 9．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为(　　)
[答案]　A [解析]　如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一概念S，这时三者的包含可表示为
； 如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时三者的关系应为
．故应选A. 10．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(　　) A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但大前提使用错误 D．使用了“三段论”，但小前提使用错误 [答案]　D [解析]　应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误． 二、填空题 11．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________． [答案]　log2x－2≥0 [解析]　由三段论方法知应为log2x－2≥0. 12．以下推理过程省略的大前提为：________. ∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab. [答案]　若a≥b，则a＋c≥b＋c [解析]　由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c. 13．(2010·重庆理，15)已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2010)＝________. [答案]　 [解析]　令y＝1得4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1) 即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)　① 令x取x＋1则f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)　② 由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)， 即f(x－1)＝－f(x＋2) ∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6) ∴f(x)＝f(x＋6) 即f(x)周期为6， ∴f(2010)＝f(6×335＋0)＝f(0) 对4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得 4f(1)f(0)＝2f(1)， ∴f(0)＝即f(2010)＝. 14．四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，四边形ABCD满足条件________时，VP－AOB恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)． [答案]　四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等 [解析]　设h为P到面ABCD的距离，VP－AOB＝S△AOB·h，
又S△AOB＝|AB|d(d为O到直线AB的距离)． 因为h、|AB|均为定值，所以VP－AOB恒为定值时，只有d也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等． 三、解答题 15．用三段论形式证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，则∠B＝∠C. [证明]　如下图延长AB，DC交于点M.
①平行线分线段成比例大前提 ②△AMD中AD∥BC小前提 ③＝结论 ①等量代换大前提 ②AB＝CD小前提 ③MB＝MC结论 在三角形中等边对等角大前提 MB＝MC小前提 ∠1＝∠MBC＝∠MCB＝∠2结论 等量代换大前提 ∠B＝π－∠1　∠C＝π－∠2小前提 ∠B＝∠C结论 16．用三段论形式证明：f(x)＝x3＋x(x∈R)为奇函数． [证明]　若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数 大前提 ∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)小前提 ∴f(x)＝x3＋x是奇函数结论 17．用三段论写出求解下题的主要解答过程． 若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，求实数a的值． [解析]　推理的第一个关键环节： 大前提：如果不等式f(x)＜0的解集为(m，n)，且f(m)、f(n)有意义，则m、n是方程f(x)＝0的实数根， 小前提：不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，且x＝－1与x＝2都使表达式|ax＋2|－6有意义， 结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根． ∴|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立． 推理的第二个关键环节： 大前提：如果|x|＝a，a＞0，那么x＝±a， 小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6， 结论：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6. 以下可得出结论a＝－4. 18．设A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线． (1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论； (2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围． [解析]　(1)F∈l?|FA|＝|FB|?A、B两点到抛物线的准线的距离相等． ∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意，y1，y2不同时为0. ∴上述条件等价于 y1＝y2?x＝x?(x1＋x2)(x1－x2)＝0. ∵x1≠x2，∴上述条件等价于x1＋x2＝0，即当且仅当x1＋x2＝0时，l经过抛物线的焦点F. (2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b；过点A、B的直线方程为y＝－x＋m，所以x1，x2满足方程2x2＋x－m＝0，得x1＋x2＝－. A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝＋8m>0，即m>－.设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则 x0＝(x1＋x2)＝－， y0＝－x0＋m＝＋m. 由N∈l，得＋m＝－＋b，于是 b＝＋m>－＝. 即得l在y轴上截距的取值范围是.

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