2.2 第1课时 向量加法运算及其几何意义
一、选择题
1．在四边形ABCD中，＝＋，则四边形ABCD一定是( )
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．平行四边形
[答案] D
[解析] 在四边形ABCD中，＝＋，
又＝＋，∴＝，
∴四边形ABCD是平行四边形．
2．向量(＋)＋(＋)＋等于( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 原式＝＋＋＋＋
＝＋0＝.
3．若a，b为非零向量，则下列说法中不正确的是( )
A．若向量a与b方向相反，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．若向量a与b方向相反，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与a的方向相同
D．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与b的方向相同
[答案] B
[解析] ∵a与b方向相反，|a|>|b|，∴a＋b与a的方向相反，故B不正确．
4．已知||＝8，||＝5，则||的取值范围是( )
A．[5,13] B．[3,13]
C．[8,13] D．[5,8]
[答案] B
[解析] 当与异向时，||可取最大值13；当与同向时，||可取最小值3.所以||的取值范围是[3,13]．
[点评] 先作出，由于的方向未定，以A为圆心||为半径作圆，则此圆上任一点均可为C点，
∴3≤||≤13.
5．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，而b是一非零向量，则下列结论正确的有( )
①a∥b ②a＋b＝a
③a＋b＝b ④|a＋b|<|a|＋|b|
A．①③ B．②③
C．②④ D．①②
[答案] A
[解析] 在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，所以a为零向量，零向量和任何向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确．
6．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( )
A．a与b方向相同
B．a∥b
C．a＝－b
D．a与b的关系不确定
[答案] A
[解析] 当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a、b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；向量a与b同向时，a＋b的方向与a、b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a＋b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.
7．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点．下列结论正确的是( )
A.＝，＝
B.＋＝
C.＋＝＋
D.＋＋＝
[答案] C
[解析] 因为＋＝，＋＝，所以＋＝＋.
8．在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则＋等于( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] ∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，
∴DE∥AF且DE＝AF，
∴＝，
∴＋＝＋＝.
9．向量(＋)＋(＋)＋化简后为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
10．(09·山东文)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
[答案] C
[解析] ∵＋＝2，
∴由平行四边形法则，点P为线段AC的中点，
∴＋＝0.故选C.
二、填空题
11．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________.
[答案] 3
[解析] ∵||＝||且∠AOB＝90°，∴|a＋b|为以、为两邻边的矩形的对角线的长，
∴|a＋b|＝3.
12．设P为?ABCD所在平面内一点，则①＋＝＋；②＋＝＋；③＋＝＋中成立的序号为________．
[答案] ②
[解析] 以PA、PC为邻边作平行四边形PAEC，则PE与AC交于AC中点O，同样以PB、PD为邻边作平行四边形PBFD，对角线BD与PF交于BD中点O′，则O与O′重合，∴＋＝＋.
13．若||＝10，||＝8，则||的取值范围是______．
[答案] [2,18]
[解析] 如图．
固定，以A为起点作，则的终点C在以A为圆心，||为半径的圆上，由图可见，当C在C1处时，||取最小值2，当C在C2处时，||取最大值18.
三、解答题
14．设a表示“向西走2km”，b表示“向北走2km”，则a＋b表示向哪个方向行走了多少？
[解析] 如图，作＝a＝“向西走2km”，＝b＝“向北走2km”，则＝＋＝a＋b.
∵△OAB为Rt△，∴||＝＝2km，
又∠AOB＝45°，所以a＋b表示向西北方向走了2km.
15．已知两个力F1、F2的方向互相垂直，且它们的合力F大小为10N，与力F1的夹角是60°，求力F1、F2的大小．
[解析] 设表示力F1，表示力F2，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则表示合力F，由题意易得||＝||cos60°＝5，||＝||sin60°＝5，
因此，力F1，F2的大小分别为5N和5N.
16．在水流速度大小为10km/h的河中，如果要使船实际以10km/h大小的速度与河岸成直角横渡，求船行驶速度的大小与方向．
[解析] 如右图所示，OA表示水流方向，表示垂直于对岸横渡的方向，表示船行速度的方向，由＝＋易知||＝||＝10，又∠OBC＝90°，∴||＝20，∴∠BOC＝30°，∴∠AOC＝120°，即船行驶速度为20km/h，方向与水流方向成120°角．
17．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O且||＝||＝1，＋＝＋＝0，
cos∠DAB＝.
求|＋|与|＋|.
[解析] ∵＋＝＋＝0，∴＝，＝.
∴四边形ABCD为平行四边形．
又||＝||＝1，知四边形ABCD为菱形．
∵cos∠DAB＝，∠DAB∈(0，π)，
∴∠DAB＝，∴△ABD为正三角形．
∴|＋|＝|＋|＝||＝2||＝.
|＋|＝||＝||＝1.
18．若E，F，M，N分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：＝.
[解析] 如图所示，连结AC，在△DAC中，
∵N，M分别是AD，CD的中点，
∴∥，且||＝||，且与的方向相同．同理可得||＝||且与的方向相同，故有||＝||，且与的方向相同，∴＝.
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