2.2.1.3换底公式
一、选择题
1．下列各式中不正确的是( )
[答案] D
[解析] 根据对数的运算性质可知：
2．log23·log34·log45·log56·log67·log78＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] log23·log34·log45·log56·log67·log78＝×××××＝＝3，故选C.
3．设lg2＝a，lg3＝b，则log512等于( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] log512＝＝＝，故选C.
4．已知log72＝p，log75＝q，则lg2用p、q表示为( )
A．pq B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由已知得：＝，∴log52＝
变形为：＝＝，∴lg2＝，故选B.
5．设x＝ ，则x∈( )
A．(－2，－1) B．(1,2)
C．(－3，－2) D．(2,3)
[答案] D
[解析] x＝
＝log310∈(2,3)，故选D.
6．设a、b、c∈R＋，且3a＝4b＝6c，则以下四个式子中恒成立的是( )
A.＝＋ B.＝＋
C.＝＋ D.＝＋
[答案] B
[解析] 设3a＝4b＝6c＝m，
∴a＝logm3，b＝logm4，c＝logm6，
∴＝logm3，＝logm4，＝logm6，
又∵logm6＝logm3＋logm2，＝＋，即
＝＋，故选B.
7．设方程(lgx)2－lgx2－3＝0的两实根是a和b ，则logab＋logba等于( )
A．1 B．－2
C．－ D．－4
[答案] C
[解析] 由已知得：lga＋lgb＝2，lgalgb＝－3
那么logab＋logba＝＋＝
＝＝＝－，故选C.
8．已知函数f(x)＝＋lg(x＋)，且f(－1)≈1.62，则f(1)≈( )
A．2.62 B．2.38
C．1.62 D．0.38
[答案] B
[解析] f(－1)＝2＋lg(－1)，f(1)＝2＋lg(＋1)
因此f(－1)＋f(1)＝4＋lg[(－1)(＋1)]＝4，
∴f(1)＝4－f(－1)≈2.38，故选B.
二、填空题
9．设log89＝a，log35＝b，则lg2＝________.
[答案]
[解析] 由log89＝a得log23＝a，∴＝，
又∵log35＝＝b，
∴×＝ab，
∴＝ab，
∴lg2＝.
10．已知logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，那么式子logabcx＝________.
[答案] 1
[解析] logx(abc)＝logxa＋logxb＋logxc＝＋＋＝1，
∴logabcx＝1.
11．若logac＋logbc＝0(c≠1)，则ab＋c－abc＝______.
[答案] 1
[解析] 由logac＋logbc＝0得：
·lgc＝0，∵c≠1，∴lgc≠0∴ab＝1，
∴ab＋c－abc＝1＋c－c＝1.
12．光线每透过一块玻璃板，其强度要减弱，要使光线减弱到原来的以下，至少要这样的玻璃板______块(lg3＝0.4771)．
[答案] 11
[解析] 设光线原来的强度为1，透过第n块玻璃板后的强度为(1－)n.由题意(1－)n<，两边同时取对数得nlg(1－)＝≈10.42
故至少需要11块玻璃板．
三、解答题
13．已知log34·log48·log8m＝log416，求m的值．
[解析] log416＝2，log34·log48·log8m＝log3m＝2，
∴m＝9.
14．计算(lg＋lg1＋lg2＋lg4＋lg8＋……＋lg1024)·log210.
[解析] (lg＋lg1＋lg2＋lg4＋…＋lg1024)·log210＝(－1＋0＋1＋2＋…＋10)lg2·log210
＝×12＝54.
15．若25a＝53b＝102c，试求a、b、c之间的关系．
[解析] 设25a＝53b＝102c＝k，
则a＝log2k，b＝log5k，c＝lgk.
∴logk2＝，logk5＝，logk10＝，
又logk2＋logk5＝logk10，∴＋＝.
16．设4a＝5b＝m，且＋＝1，求m的值．
[解析] a＝log4m，b＝log5m.
∴＋＝logm4＋2logm5＝logm100＝1，∴m＝100.
17．已知二次函数f(x)＝(lga)x2＋2x＋4lga的最大值是3，求a的值．
[解析] ∵f(x)的最大值等于3
∴
∵lga<0，∴lga＝－，∴a＝10－.
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