2.2 第2课时 向量减法、数乘运算及其几何意义
一、选择题
1．化简－＋＋的结果等于( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 原式＝(＋)＋(＋)
＝＋0＝.
2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＝，下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在直线上
D．P在△ABC的外部
[答案] D
[解析] 由＋＝可得
＝－＝，∴四边形PBCA为平行四边形．
可知点P在△ABC的外部．选D.
3．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A.＝
B.＋＝
C.－＝
D.＋＝0
[答案] C
[解析] A显然正确．由平行四边形法则知B正确．C中－＝，故C错误．D中＋＝＋＝0.
4．(07·湖南)若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.＝＋
B.＝－
C.＝－＋
D.＝－－
[答案] B
[解析] 由向量的减法的定义求解．
5．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
[答案] C
[解析] 以，为邻边作平行四边形ABCD，则m＝＋＝，n＝－＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．∴选C.
6．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于( )
A. B．－
C．－ D.
[答案] C
[解析] ∵b＝λa，∴|b|＝|λ|·|a|
又∵a与b反向，∴λ＝－.
7．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，那么( )
A.＝ B.＝2
C.＝3 D．2＝
[答案] A
[解析] ∵＋＝2，
∴2＋2＝0，∴＝.
8．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC的内部
B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上
D．BC边所在直线上
[答案] B
[解析] 由＝λ＋得－＝λ，∴＝λ.则与为共线向量，又与有一个公共点P，∴C、P、A三点共线，即点P在直线AC上．故选B.
9．G为△ABC内一点，且满足＋＋＝0，则G为△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．垂心 D．重心
[答案] D
[解析] 由于＋＋＝0，所以＝－(＋)，即是与＋方向相反，长度相等的向量．如图，以，为相邻的两边作?BGCD，则＝＋，所以＝－，在?BGCD中，设BC与GD交于点E，则＝，＝，故AE是△ABC中BC边上的中线且||＝2||.
从而点G是△ABC的重心．选D.
10．(2010·河北唐山)已知P、A、B、C是平面内四个不同的点，且＋＋＝，则( )
A．A、B、C三点共线
B．A、B、P三点共线
C．A、C、P三点共线
D．B、C、P三点共线
[答案] B
[解析] ∵＝－，∴原条件式变形为：
＝－2，∴∥，∴A、B、P三点共线．
二、填空题
11．已知x、y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.
[答案]
[解析] 由已知得?.
12．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.
[答案] －
[解析] ∵|a|＝5，|b|＝7，∴＝，
又方向相反，∴a＝－b.
13．(2010·浙江宁波十校)在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________(用e1，e2表示)．
[答案] －e1＋e2
[解析] ∵＝＝e2，∴＝－e2，
∵＝，＋＝＝－＝e2－e1，
∴＝(e2－e1)，∴＝＋＝(e2－e1)－e2＝－e1＋e2.
三、解答题
14．如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，试用a、b表示和.
[解析] 连结CN，∵N是AB的中点，AB＝2CD，
∴AN綊DC，
∴四边形ANCD是平行四边形，
∴＝－＝－b，又＋＋＝0，
∴＝－－＝－a＋b.
＝＋＝a－b.
15．若a、b都是非零向量，在什么条件下向量a＋b与a－b共线？
[解析] 因a、b都是非零向量，向量a＋b与a－b中至少有一个不为零向量，不妨设a＋b≠0.则由a＋b与a－b共线，知存在实数λ使a－b＝λ(a＋b)，
∴(1－λ)a＝(1＋λ)b，
∵a≠0且b≠0，∴λ≠±1，
从而b＝a，从而a∥b.
由上可知，当a∥b时，a＋b与a－b共线．
16．如图，在△ABC中，D、E分别为AC、AB边上的点，＝＝，记＝a，＝b，求证：＝(b－a)．
[解析] 因为＝＝(－)＝(－a－b)，＝＝－b，所以＝－＝－a－b＋b＝(b－a)．
17．点E、F分别为四边形ABCD的对角线AC、BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示.
[解析] 如图所示，取AB中点P，连结EP，FP，
在△ABC中，EP是与BC平行的中位线，∴＝＝a.
在△ABD中，FP是与AD平行的中位线，
∴＝＝－b.在△EFP中，
＝＋＝－＋
＝－a－b＝－(a＋b)．
18．已知?ABCD的边BC、CD的中点分别是M、N，设＝a，＝b，试用a、b表示、.
[分析] ∵M、N分别为?ABCD的边BC、CD的中点，故以、作为基向量较易表示出、，然后，解方程组即可求出、.
[解析] 在?ABCD中，M、N分别是边BC、CD的中点，
∴＝，＝.
∴＝＋＝＋，
＝＋，∴
解得＝a－b，＝b－a.
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