2.2.2.3指数函数与对数函数的关系
一、选择题
1.已知a>0且a≠1，则在同一坐标系中，函数y＝a－x和y＝loga(－x)的图象可能是( )
[答案] D
[解析] 若01，此时y＝loga(－x)单调减，排除B，故选D.
2.若0logy
A．①② B．②③
C．①③ D．②④
[答案] B
[解析] ∵y＝2u为增函数，xy，∴②错误；
∵y＝log2x为增函数，0logy2，∴③错误；
∵y＝logu为减函数0logy，∴④正确．
4．如下图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a的取值分别为、、、，则相应于C1、C2、C3、C4的a值依次是( )
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
[答案] A
[解析] 根据对数函数图象的变化规律即可求得．
5．函数y＝log|x＋2|的增区间为( )
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(－2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(－2，＋∞)
[答案] B
[解析] 由y＝log|x＋2|
∵t＝－(x＋2)在x∈(－∞，－2)上是减函数，y＝logt为减函数，∴此函数在(－∞，－2)上是增函数．
6．设a>0且a≠1，函数y＝logax的反函数与y＝loga的反函数的图象关于( )
A．x轴对称 B．y轴对称
C．y＝x对称 D．原点对称
[答案] B
7．(08·陕西)设函数f(x)＝2x＋3的反函数为f－1(x)，若mn＝16(m、n∈R＋)，则f－1(m)＋f－1(n)的值为( )
A．－2 B．1
C．4 D．10
[答案] A
[解析] 解法一：由y＝2x＋3得x＝－3＋log2y，
∴反函数f－1(x)＝－3＋log2x，
∵mn＝16，∴f－1(m)＋f－1(n)＝－6＋log2m＋log2n
＝－6＋log2(mn)＝－6＋log216＝－2.
解法二：设f－1(m)＝a，f－1(n)＝b，
则f(a)＝m，f(b)＝n，
∴mn＝f(a)·f(b)＝2a＋3·2b＋3＝2a＋b＋6＝16，
∴a＋b＋6＝4，∴a＋b＝－2.
8．若函数f(x)＝loga|x＋1|在(－1,0)上有f(x)>0，则f(x)( )
A．在(－∞，0)上是增函数
B．在(－∞，0)上是减函数
C．在(－∞，－1)上是增函数
D．在(－∞，－1)上是减函数
[答案] C
[解析] 当－10，∴0a>c
[解析] 在同一坐标系内画出y＝2x，y＝log2x，y＝2－x，y＝log2(－x)的图象．∴b>a>c.
13．方程a－x＝logax(a>0且a≠1)的解的个数为____．
[答案] 1
[解析] 当a>1时，在同一坐标系中作出y＝logax和y＝a－x的图象如图，则两个图象只有一个交点．同理，当01>a>b>0
故在图(2)中m3：y＝cx，m2：y＝bx，m1：y＝ax.
15．函数y＝ax＋1(01，因此g(x)＝loga(1－x2)的递减区间为[0,1)．
17．我们知道，y＝ax(a>0且a≠1)与y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．只要把其中一个进行指对互化．就可以得到它的反函数的解析式．任意一个函数y＝f(x)，将x用y表示出来能否得到它的反函数？据函数的定义：对于自变量x的每一个值y都有唯一确定的值与之对应．如果存在反函数，应是对于y的每一个值，x都有唯一确定的值与之对应，据此探究下列函数是否存在反函数？若是，反函数是什么？若否，为什么？
(1)y＝2x＋1; (2)y＝；
(3)y＝x2; (4)y＝.
[解析] (1)∵y＝2x＋1是单调增函数，由y＝2x＋1解得x＝(y－1)这时对任意y∈R，都有唯一确定的x与之对应，也就是x是y的函数，按习惯用x表示自变量，y表示函数，则y＝2x＋1的反函数为
y＝(x－1)．
(2)同(1)的道理，∵y＝单调增，也存在反函数，由y＝解出x＝y2，∴y＝的反函数为y＝x2，因为这里的x就是y＝中的y且y≥0，∴x≥0，即反函数为y＝x2(x≥0)．
(3)∵x＝±1时，都有y＝1，反过来对于y＝1，x有两个值与之对应，故y＝x2不存在反函数．
(4)由y＝解得x＝，对y的每一个值，x都有唯一值与之对应，故存在反函数，反函数为y＝(x≠2)．
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