2.3.1幂函数 一、选择题 1．幂函数y＝(m2＋m－5)xm2－m－的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为(　　) A．2或－3　　　　　　 B．2 C．－3 D．0 [答案]　B [解析]　由m2＋m－5＝1得m＝2或－3，∵函数图象分布在一、二象限，∴函数为偶函数，∴m＝2. 2．函数y＝xn在第一象限内的图象如下图所示，已知：n取±2，±四个值，则相应于曲线C1、C2、C3、C4的n依次为(　　)
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2,2， D．2，，－2，－ [答案]　B [解析]　图中c1的指数n>1，c2的指数02－2知B正确． 评述：幂函数在第一象限内当x>1时的图象及指对函数在第一象限内的图象，其分布规律与a(或α)值的大小关系是：幂指逆增、对数逆减． 3．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　) A．y＝－3|x| B．y＝x C．y＝log3x2 D．y＝x－x2 [答案]　A 4．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋的图象应是(　　)
[答案]　B [解析]　首先若a>0，y＝ax＋，应为增函数，只能是A或C，应有纵截距>0因而排除A、C；故a<0，幂函数的图象应不过原点，排除D，故选B. 5．设a、b满足0ab，排除A. ∵y＝bx单调减，abb，排除B. ∵y＝xa与y＝xb在(0,1)上都是增函数，a0.5a>5a即5－a>0.5a>5a. 7．(2010·安徽文，7)设a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a [答案]　A [解析]　对b和c，∵指数函数y＝()x单调递减．故() <()，即b()，即a>c，∴a>c>b，故选A. 8．当0(1－a)b B．(1＋a)a>(1＋b)b C．(1－a)b>(1－a) D．(1－a)a>(1－b)b [答案]　D [解析]　∵0(1－a)b ① 又∵1－a>1－b>0，∴(1－a)b>(1－b)b ② 由①②得(1－a)a>(1－b)b.∴选D. 9．幂函数y＝xα　(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么，αβ＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．无法确定 [答案]　A [解析]　由条件知，M、N， ∴＝α，＝β， ∴αβ＝α＝α＝， ∴αβ＝1.故选A. 10．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　)
[答案]　C [解析]　由A，B图可知幂函数y＝xa在第一象限递减，∴a<0，所以直线y＝ax－的图象经过第二、四象限，且在y轴上的截距为正，故A、B都不对；由C、D图可知幂指数a>0，直线的图象过第一、三象限，且在y轴上的截距为负，故选C. 二、填空题 11．函数f(x)＝(x＋3)－2的定义域为__________，单调增区间是__________，单调减区间为__________． [答案]　{x|x∈R且x≠－3}；(－∞，－3)；(－3，＋∞) [解析]　∵y＝(x＋3)－2＝， ∴x＋3≠0，即x≠－3，定义域为{x|x∈R且x≠－3}， y＝x－2＝的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y＝(x＋3)－2是由y＝x－2向左平移3个单位得到的． ∴y＝(x＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)，单调减区间为(－3，＋∞)． 12．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，那么这个幂函数的解析式为________． [答案]　y＝x 13．若(a＋1)<(2a－2)，则实数a的取值范围是________． [答案]　(3，＋∞) [解析]　∵y＝x在R上为增函数，(a＋1)<(2a－2). ∴a＋1<2a－2，∴a>3. 三、解答题 14．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是 (1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数． [解析]　(1)若f(x)为正比例函数，则 ?m＝1. (2)若f(x)为反比例函数，则 ?m＝－1. (3)若f(x)为二次函数，则 ?m＝. (4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±. 15．已知函数y＝xn2－2n－3(n∈Z)的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象． [解析]　因为图象与y轴无公共点，所以n2－2n－3≤0，又图象关于y轴对称，则n2－2n－3为偶数，由n2－2n－3≤0得，－1≤n≤3，又n∈Z.∴n＝0，±1,2,3 当n＝0或n＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不适合题意． 当n＝－1或n＝3时，有y＝x0，其图象如图A.
当n＝1时，y＝x－4，其图象如图B. ∴n的取值集合为{－1,1,3}． 16．点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有 ①f(x)>g(x); ②f(x)＝g(x)； ③f(x)1或x<－1时，f(x)>g(x)； ②当x＝±1时，f(x)＝g(x)； ③当－1(2x－1)2成立的x的取值范围． [解析]　解法一：在同一坐标系中作出函数y＝x－与y＝x2的图象，观察图象可见，当0x2，
∴0<2x－1<1，∴0且2x－1≠1，又y＝ax当a>1时为增函数，当0(2x－1)2.∴0<2x－1<1.∴

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