2.3 第2课时 平面向量的正交分解、坐标表示与坐标运算
一、选择题
1．(08·四川)设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝( )
A．(7,3) B．(7,7)
C．(1,7) D．(1,3)
[答案] A
[解析] a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)，故选A.
2．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为( )
A．(6,9) B．(5,4)
C．(7,14) D．(9,24)
[答案] B
[解析] ＝(－1，－5).＝3a＝(6,9)，
故＝＋＝(5,4)，
故点B坐标为(5,4)．
3．原点O在正六边形ABCDEF的中心，＝(－1，－)，＝(1，－)，则等于( )
A．(2,0) B．(－2,0)
C．(0，－2) D．(0，)
[答案] A
[解析] ∵正六边形中，OABC为平行四边形，
∴＝＋，
∴＝－＝(2,0)．
4．(09·湖北理)已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝( )
A．{(1,1)} B．{(－1,1)}
C．{(1,0)} D．{(0,1)}
[答案] A
[解析] 根据题意知，a＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，b＝(1,1)＋n(－1，1)＝(1－n,1＋n)，
令a＝b得，，解得，∴a＝(1,1)＝b.
∴P∩Q＝{(1,1)}．
5．(08·辽宁文)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A. B.
C．(3,2) D．(1,3)
[答案] A
[解析] ＝(3,1)－(－1，－2)＝(4,3)，
2＝2(x，y－2)＝(2x,2y－4)
∵＝2，
∴，解得，故选A.
6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( )
A. B.
C．－ D．－
[答案] A
[解析] ∵＝2，
∴－＝2(－)，
∴＝＋.
又∵＝＋λ，∴λ＝.
7．(08·辽宁理)已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则＝( )
A．2－ B．－＋2
C.－ D．－＋
[答案] A
[解析] ∵2＋＝0，
∴2(－)＋(－)＝0，
∴＋－2＝0，∴＝2－.
8．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝α＋β，其中α、β∈R且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5
B．3x＋2y－11＝0
C．2x－y＝0
D．x＋2y－5＝0
[答案] D
[分析] 求轨迹方程的问题求哪个点的轨迹设哪个点的坐标，故设C(x，y)，据向量的运算法则及向量相等的关系，列出关于α、β、x、y的关系式，消去α、β即得．
[解析] 解法1：设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1，3)．由＝α＋β得
(x，y)＝(3α，α)＋(－β，3β)＝(3α－β，α＋3β)．
于是
由(3)得β＝1－α代入(1)(2)消去β得，.
再消去α得x＋2y＝5，
即x＋2y－5＝0.∴选D.
解法2：由平面向量共线定理，当＝α＋β，α＋β＝1时，A、B、C三点共线．
因此，点C的轨迹为直线AB，
由两点式直线方程得＝，
即x＋2y－5＝0.∴选D.
9．已知平面向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，c＝(3，－5)，则用a，b表示向量c为( )
A．2a－b B．－a＋2b
C．a－2b D．a＋2b
[答案] C
[解析] 设c＝xa＋yb，∴(3，－5)＝(x－y，－x＋2y)，
∴，解之得，
∴c＝a－2b，故选C.
10．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为( )
A．(1，－1) B．(－1,1)
C．(－4,6) D．(4，－6)
[答案] D
[解析] 设c＝(x，y)，∵a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，∴4a＝(4，－12),3b－2a＝(－8,18)．
又由表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则有4a＋(3b－2a)＋c＝0，
即(4，－12)＋(－8,18)＋(x，y)＝(0,0)，
∴x＝4，y＝－6，∴c＝(4，－6)．
二、填空题
11．已知＝(2，－1)，＝(－4,1)，则的坐标为________．
[答案] (－6,2)
[解析] ＝－＝(－6,2)．
12．在坐标平面内，已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：
①直线OC与直线BA平行；
②＋＝；
③＋＝；
④＝－2.
其中所有正确命题的序号为________．
[答案] ①③④
[解析] ①∵＝(－2,1)，＝(2，－1)，
∴＝－(2，－1)＝－，
又OC，BA不共线，∴OC∥BA，∴①正确；
②∵＋＝≠，∴②错误；
③∵＋＝(0,2)＝，∴③正确；
④∵＝(－4,0)，－2＝(0,2)－2(2,1)
＝(－4,0)，∴④正确．
13．已知点A(7,1)，B(1,4)，若直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则实数a＝________.
[答案] 1
[解析] 设C(x0，ax0)，则＝(x0－7，ax0－1)，＝(1－x0,4－ax0)，
∵＝2，∴，解之得.
14．已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F，＝α，＝β，则＋的值为________．
[答案] 3
[解析] 连结AG并延长交BC于D，∵G是△ABC的重心，∴＝＝(＋)，
设＝λ，
∴－＝λ(－)，
∴＝＋，
∴＋＝＋，
∵与不共线，
∴，∴，∴＋＝3.
三、解答题
15．已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M、N是AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.
[解析] 因为A(7,8)，B(3,5)C(4,3)
所以＝(－4，－3)，AC＝(－3，－5)．
又因为D是BC的中点，有＝(＋)＝(－3.5，－4)，而M、N分别为AB、AC的中点，
所以F为AD的中点，
故有＝＝－＝(1.75,2)．
[点评] 注意向量表示的中点公式，M是A、B的中点，O是任一点，则＝(＋)．
16．如图所示，在?ABCD中，已知＝，＝.
求证：B、F、E三点共线．
[证明] 设＝a，＝b.则＝＋＝a＋b.
∵＝b－a，∴＝＝(b－a)．
∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b－a
＝a＋b＝.
∴＝.
∴向量与向量共线，它们有公共点B.
∴B、F、E三点共线．
17．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M为圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程．
[解析] 设M(x0，y0)，N(x，y)，
由＝2，得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，
所以，又∵M(x0，y0)在圆C上，
把x0、y0代入方程(x－3)2＋(y－3)2＝4，
整理得x2＋y2＝1，
所以所求的轨迹方程为x2＋y2＝1.
【点此下载】