2.4 第2课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
一、选择题
1．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] ∵cosθ＝
＝＝，
∴a在b方向上的投影|a|cosθ
＝×＝.
2．(08·海南文)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
[答案] A
[解析] a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，
∴λa＋b＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，
∵λa＋b与a垂直，
∴λ＋4＋(－3)(－3λ－2)＝0，
∴λ＝－1，故选A.
3．(2010·重庆南开中学)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则a·b＝( )
A. B．1
C. D.
[答案] B
[解析] |a|＝2，a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2×1×＝1.
4．已知△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则a与b的夹角是( )
A．30° B．150°
C．210° D．30°或150°
[答案] B
[解析] 由a·b<0知，a、b夹角是钝角，
∵S△ABC＝，∴×3×5×sinA＝，∴sinA＝，
∵A为钝角，∴A＝150°.
5．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于( )
A. B.
C. D．(1,0)
[答案] B
[解析] 方法1：令b＝(x，y)(y≠0)，则
将②代入①得x2＋(－x)2＝1，即2x2－3x＋1＝0，
∴x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝?y＝.
方法2：排除法，D中y＝0不合题意；C不是单位向量，舍去；代入A，不合题意，故选B.
6．(2010·四川理，5)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
[答案] C
[解析] ∵|＋|＝|－|，∴△ABC是以A为直角顶点的三角形，
又M是BC的中点，则||＝||＝×4＝2.
7．(2010·河北省正定中学模拟)已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈，则向量a，b的夹角为( )
A.－θ B．θ－
C.＋θ D．θ
[答案] A
[解析] 解法一：由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4位于第二象限的部分上
(∵<θ<π)，设其终点为P，则∠xOP＝θ，
∴a与b的夹角为－θ.
解法二：cos〈a，b〉＝＝
＝－sinθ＝cos，
∵θ∈，∴－θ∈，
又〈a，b〉∈(0，π)，∴〈a，b〉＝－θ.
8．若非零向量a、b满足|a＋b|＝|b|，则( )
A．|2a|>|2a＋b| B．|2a|<|2a＋b|
C．|2b|>|a＋2b| D．|2b|<|a＋2b|
[答案] C
[解析] 由已知(a＋b)2＝b2，即2a·b＋|a|2＝0.
∵|2a＋b|2－|2a|2＝4a·b＋|b|2＝|b|2－2|a|2符号不能确定，∴A、B均不对．
∵|a＋2b|2－|2b|2＝|a|2＋4a·b
＝|a|2－2|a|2＝－|a|2<0.故选C.
9．设A(a,1)、B(2，b)、C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为( )
A．4a－5b＝3 B．5a－4b＝3
C．4a＋5b＝14 D．5a＋4b＝14
[答案] A
[解析] 据投影定义知，＝
?·－·＝0?·＝0，
?4(a－2)＋5(1－b)＝0?4a－5b＝3.
10．(08·浙江)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A．1 B．2
C. D.
[答案] C
[解析] 由(a－c)·(b－c)＝0得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，即c2＝(a＋b)·c，故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，即|c|≤|a＋b|＝，故选C.
二、填空题
11．已知a＝(1,2)，b＝(－2,1)，则与2a－b同方向的单位向量e为________．
[答案]
[解析] ∵2a－b＝2(1,2)－(－2,1)＝(4,3)，
∴同方向的单位向量e＝＝.
12．(2010·金华十校)△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．
[答案] 3
[解析] ∵·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1，
∵·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，
∴y≥2.
∴·＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.
13．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b.若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
[答案] 4
[解析] ∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．
∵(a－b)⊥c，∴(a－b)·[－(a＋b)]＝0.
即|a|2－|b|2＝0，∴|a|＝|b|＝1，
∵a⊥b，∴a·b＝0，
∴|c|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋b2＝1＋0＋1＝2.
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
三、解答题
14．已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，t∈R.
(1)求|a＋tb|的最小值及相应的t值；
(2)若a－tb与c共线，求实数t.
[解析] (1)a＋tb＝(2t－3,2＋t)，|a＋tb|2＝(2t－3)2＋(2＋t)2＝5t2－8t＋13＝52＋，当t＝时，|a＋tb|取得最小值.
(2)a－tb＝(－3－2t,2－t)，因为a－tb与c共线，所以3＋2t－6＋3t＝0，即t＝.
15．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，若∥，⊥.
(1)求x、y的值；
(2)求四边形ABCD的面积．
[解析] (1)＝＋＋＝(4＋x，y－2)，
∴＝(－4－x,2－y)，
由∥得，x(2－y)＋y(4＋x)＝0①
＝＋＝(6＋x，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)，
由⊥得，
(6＋x)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0②
由①②解得x＝2，y＝－1或x＝－6，y＝3.
(2)当x＝2，y＝－1时，＝(8,0)，＝(0,4)，
∴S四边形ABCD＝||·||＝×8×4＝16；
当x＝－6，y＝3时，＝(0,4)，＝(－8,0)，
∴S四边形ABCD＝||·||＝×4×8＝16.
16．已知a＝(，－1)，b＝.
(1)求证：a⊥b；
(2)若存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋(t－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t)；
(3)求函数k＝f(t)的最小值．
[解析] (1)由a·b＝－＝0，得a⊥b.
(2)由x⊥y得，x·y＝[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，即－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.
－ka2＋t(t－3)b2＝0.
∴k＝t(t－3)．
(3)k＝t(t－3)＝2－，
所以当t＝时，k取最小值－.
17．如图所示，已知△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD是BC边上的高，求及点D的坐标．
[解析] 设点D的坐标为(x，y)，∵AD是BC边上的高，
∴⊥，与共线．
又＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)．
＝(x＋3，y＋1)，
∴即
解得
∴D点坐标为(1,1)，∴＝(－1,2)．
18．已知O为平面直角坐标系的原点，设＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)．在线段OC上是否存在点M，使MA⊥MB.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
[解析] 设＝t，t∈[0,1]．则＝(6t,3t)，
即M(6t,3t)．
∴＝－＝(2－6t,5－3t)，
＝－＝(3－6t,1－3t)．
∵MA⊥MB，∴·＝(2－6t)(3－6t)＋(5－3t)(1－3t)＝0，
即45t2－48t＋11＝0，t＝或t＝.
∴存在点M，M点的坐标为(2,1)或.
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