2.5平面向量应用举例 一、选择题 1．一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用，两力大小都为5N，则两个力的合力的大小为(　　) A．10N 　 　 B．0N 　 　 C．5N 　 　 D.N [答案]　C [解析]　根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为×5＝5(N)． 2．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　) A．10m/s　　 B．2m/s C．4m/s D．12m/s [答案]　B [解析]　设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1. ∴v2＝v－v1，v·v1＝0， ∴|v2|＝＝ ＝＝2. 3．(2010·山东日照一中)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则的值为(　　) A. B．－ C. D．－ [答案]　B [解析]　因为|a|＝2，|b|＝3，又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×3×cos〈a，b〉＝－6，可得cos〈a，b〉＝－1.即a，b为共线向量且反向，又|a|＝2，|b|＝3，所以有3(x1，y1)＝－2(x2，y2)?x1＝－x2，y1＝－y2，所以＝＝－，从而选B. 4．已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移S＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为(　　) A．lg2 B．lg5 C．1 D．2 [答案]　D [解析]　W＝(F1＋F2)·S＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2，故选D. 5．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　由＋＋＝，得＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故＝＝.
6．点P在平面上作匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)(　　) A．(－2,4) B．(－30,25) C．(10，－5) D．(5，－10) [答案]　C [解析]　5秒后点P的坐标为： (－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)． 7．已知向量a，e满足：a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则(　　) A．a⊥e B．a⊥(a－e) C．e⊥(a－e) D．(a＋e)⊥(a－e) [答案]　C [解析]　由条件可知|a－te|2≥|a－e|2对t∈R恒成立，又∵|e|＝1， ∴t2－2a·e·t＋2a·e－1≥0对t∈R恒成立， 即Δ＝4(a·e)2－8a·e＋4≤0恒成立． ∴(a·e－1)2≤0恒成立， 而(a·e－1)2≥0，∴a·e－1＝0. 即a·e＝1＝e2，∴e·(a－e)＝0，即e⊥(a－e)． 8．已知||＝1，||＝，⊥，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°，设＝m＋n，则＝(　　) A. B．3 C．3 D. [答案]　B [解析]　∵·＝m||2＋n·＝m， ·＝m·＋n·||2＝3n， ∴＝＝1，∴＝3. 二、填空题 9．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________． [答案]　λ>－且λ≠0 [解析]　∵a与a＋λb均不是零向量，夹角为锐角， ∴a·(a＋λb)>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－. 当a与a＋λb同向时，a＋λb＝ma(m>0)， 即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m)． ∴，得， ∴λ>－且λ≠0. 10．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两点，且|AB|＝2，则·＝________. [答案]　－2 [解析]　∵|AB|＝2，|OA|＝|OB|＝2， ∴∠AOB＝120°. ∴·＝||·||·cos120°＝－2. 三、解答题 11．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB. 求证：AD⊥CE. [证明]　以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． 设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D，C(0,0)，E. ∴＝，＝. ∵·＝－a·a＋·a＝0，∴AD⊥CE. 12．△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连结DF，求证：∠ADB＝∠FDC. [证明]　如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，＝(2，－2)
设＝λ， 则＝＋＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)， 又＝(－1,2) 由题设⊥，∴·＝0， ∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝. ∴＝，∴＝－＝， 又＝(1,0)， ∴cos∠ADB＝＝， cos∠FDC＝＝， 又∠ADB、∠FDC∈(0，π)，∴∠ADB＝∠FDC. 13．(2010·江苏，15)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1) (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值． [解析]　(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)． 所以|＋|＝2，|－|＝4. 故所求的两条对角线长分别为4和2. (2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)． 由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－. 14．一条宽为km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知AB＝km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？ [解析]　如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作?ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸．根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和?ACED中，
||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°. ∴||＝＝2， sin∠EAD＝，∴∠EAD＝30°，用时0.5h. 答：船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时半小时． 15．在?ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M，N，C三点共线．
[证明]　＝－. 因为＝，＝＝(＋)， 所以＝＋－， ＝－. 由于＝－＝－， 可知＝3，即∥. 又因为MC、MN有公共点M，所以M、N、C三点共线． 16．如图所示，正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.
[分析]　本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标来解决，为此只要写出和的坐标，证明其模相等即可． [证明]　建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为 a，则A(0，a)．设||＝λ(λ>0)，则F，P，E， 所以＝，＝， 因为||2＝λ2－aλ＋a2，||2＝λ2－aλ＋a2，所以||＝||， 即PA＝EF. 17．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AC，E是垂足，F是DE的中点，求证AF⊥BE.
[证明]　∵AB＝AC，且D是BC的中点， ∴⊥，∴·＝0. 又⊥，∴·＝0. ∵＝，F是DE的中点， ∴＝－. ∴·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋· ＝·＋·＋· ＝(＋)·＋·＋· ＝·＋·＋·＋· ＝·－·－· ＝·－· ＝·(－)＝·＝0. ∴⊥，∴AF⊥BE.

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