3.1.1方程的根与函数的零点
一、选择题
1．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( )
A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5
C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6
[答案] D
[解析] 对于函数f(x)＝ex＋3x－6来说
f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2>0
∴f(1)f(2)<0，故选D.
2．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是( )
A．(0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
[答案] D
[解析] 解法1：取m＝0有f(x)＝－3x＋1的根x＝>0，则m＝0应符合题设，所以排除A、B，当m＝1时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2它的根是x＝1符合要求，排除C.∴选D.
解法2：直接法，∵f(0)＝1，∴(1)当m<0时必成立，排除A、B，
(2)当m>0时，要使与x轴交点至少有一个在原点右侧，则 ∴00.∴选D.
3．函数y＝f(x)与函数y＝2x－3的图象关于直线y＝x对称，则函数y＝f(x)与直线y＝x的一个交点位于区间( )
A．(－2，－1) B．(2,3)
C．(1,2) D．(－1,0)
[答案] B
[解析] y＝2x－3的反函数为y＝log2(x＋3)
由图象得：交点分别位于区间(－3，－2)与(2,3)内，故选B.
4．函数f(x)＝lgx－的零点所在的大致区间是( )
A．(6,7) B．(7,8)
C．(8,9) D．(9,10)
[答案] D
[解析] ∵f(9)＝lg9－1<0，f(10)＝1－>0，
∴f(9)·f(10)<0，
∴f(x)在(9,10)上有零点，故选D.
5．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α、β是函数f(x)的两个零点，则实数a、b、α、β的大小关系可能是( )
A．a<α0，故函数f(x)有两个零点．
8．函数y＝x3与y＝x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在区间为( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[答案] C
[解析] 令f(x)＝x3－x，则f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，故选C.
9．(湖南省醴陵二校2009～2010高一期末)有下列四个结论：
①函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的定义域是(1，＋∞)
②若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，则该函数为偶函数
③函数y＝5|x|的值域是(0，＋∞)
④函数f(x)＝x＋2x在(－1,0)有且只有一个零点．
其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] 由，得x>1，故①正确；∵f(x)＝xα过(2,4)，∴2α＝4，∴α＝2，
∴f(x)＝x2为偶函数，故②正确；∵|x|≥0，∴y＝5|x|≥1，∴函数y＝5|x|的值域是[1，＋∞)，故③错；∵f(－1)＝－1＋2－1＝－<0，f(0)＝0＋20＝1>0，∴f(x)＝x＋2x在(－1,0)内至少有一个零点，又f(x)＝x＋2x为增函数，∴f(x)＝x＋2x在(－1,0)内有且只有一个零点，∴④正确，故选C.
10．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和 B．1和－
C.和 D．－和－
[答案] B
[解析] 由于f(x)＝x2－ax＋b有两个零点2和3，
∴a＝5，b＝6.∴g(x)＝6x2－5x－1有两个零点1和－.
二、填空题
11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则使ax2＋bx＋c>0的自变量x的取值范围是______．
[答案] (－∞，－2)∪(3，＋∞)
12．(09·湖北理)已知关于x的不等式<0的解集是(－∞，－1)∪.则a＝________.
[答案] －2
[解析] <0?(ax－1)(x＋1)<0，
∵其解集为(－∞，－1)∪(－，＋∞)，
∴a<0且－1和－是(ax－1)(x＋1)＝0的两根，解得a＝－2.
[点评] 由方程的根与不等式解集的关系及题设条件知，－是ax－1＝0的根，∴a＝－2.
三、解答题
13．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？
[解析] 因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，
f(0)＝20－02＝1>0，
而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．
14．讨论函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数．
[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)，任取x1、x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2.
f(x1)－f(x2)＝(lnx1＋2x1－6)－(lnx2＋2x2－6)
＝(lnx1－lnx2)＋2(x1－x2)，
∵0＜x1＜x2，∴lnx1＜lnx2.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0
∵f(－6)＝36，∴a＝1
∴f(x)＝(x＋2)(x－3)
满足条件－21)．
(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
[解析] (1)任取x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨设x10，ax2－x1>1，且ax1>0.
∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0.
又∵x1＋1>0，x2＋1>0，
∴－＝
＝>0
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)证法1：设存在x0<0(x0≠－1)，满足f(x0)＝0，则ax0＝－，且00，ax0>0，
∴f(x0)>0与f(x0)＝0矛盾，故方程f(x)＝0没有负数根．
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