3.1.1两角差的余弦公式
一、选择题
1．已知锐角α、β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cosβ＝( )
A.
B．－
C.
D．－
[答案] A
[解析] ∵α、β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴sinα＝，sin(α＋β)＝.
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα
＝－×＋×＝.
2．cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是( )
A．0
B.
C.
D．－
[答案] B
[解析] 原式＝cos75°·cos15°＋sin75°sin15°
＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.
3．已知cosθ＝，θ∈，则cos＝( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] ∵cosθ＝，θ∈，∴sinθ＝，
∴cos＝cosθ·cos＋sinθ·sin
＝×＋×＝.
4．α、β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，则cosα的值为( )
A.
B.
C.或
D．以上均不对
[答案] A
[解析] ∵α，β为锐角，∴0<α＋β<π，
又∵cos(α＋β)＝>0，∴0<α＋β<，
∴0<2α＋β<π，
又∵cos(2α＋β)＝，∴0<2α＋β<，
∴sin(α＋β)＝，sin(2α＋β)＝，
∴cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]
＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)
＝×＋×＝.
5．(08·山东理)已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是( )
A．－
B.
C．－
D.
[答案] C
[解析] ∵cos(α－)＋sinα
＝cosαcos＋sinαsin＋sinα
＝cosα＋sinα＝，
∴cosα＋sinα＝，
∴sin(α＋)＝－sin＝－cos
＝－sinα－cosα＝－.故选C.
6．已知0<α<<β<π，cosα＝，sin(α＋β)＝－，则cosβ的值为( )
A．－1
B．－1或－
C．－
D．±
[答案] C
[解析] ∵0<α<，<β<π，∴<α＋β<π，
∴sinα＝，cos(α＋β)＝－，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝×＋×＝－，
故选C.
7．在△ABC中，若cosA＝，cosB＝，则cosC的值是( )
A.
B.
C.或
D．－
[答案] A
[解析] 在△ABC中，0＝sinβ，∴α>β.
∴0<α－β<，
∴sin(α－β)＝＝＝.
∴tan(α－β)＝＝.
10．若sinα－sinβ＝，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)的值为( )
A.
B.
C.
D．1
[答案] A
[解析] 将条件式两边分别平方相加得：
2－2sinαsinβ－2cosαcosβ＝1，
∴2－2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝.
二、填空题
11.＝________.
[答案]
[解析]
＝coscos－sinsin
＝coscos＋sinsin
＝cos＝cos＝.
12.cos15°＋sin15°＝________.
[答案]
[解析] cos15°＋sin15°
＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°
＝cos(60°－15°)＝cos45°＝.
13．若α、β为锐角，且cosα＝，cos(α＋β)＝，则cosβ的值为________．
[答案]
[解析] ∵cosα＝，α为锐角，∴sinα＝.
又∵cos(α＋β)＝，α、β为锐角，∴sin(α＋β)
＝＝＝，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝×＋×＝.
14．化简＝________.
[答案]
[解析] ＝
＝＝.
三、解答题
15．已知cosθ＝－，θ∈，求cos的值．
[解析] ∵cosθ＝－，θ∈，
∴sinθ＝－＝－＝－，
∴cos＝cosθ·cos＋sinθ·sin
＝－·＋·＝－.
16．设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos.
[分析] 观察已知角和所求角，可知＝－，故可利用两角差的余弦公式求解．
[解析] ∵α∈，β∈，
∴α－∈，－β∈，
∴sin＝
＝＝.
cos＝＝＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sin·sin
＝－×＋×＝.
17．已知△ABC中，sinC＝，cosB＝－，求cosA.
[解析] 在△ABC中，由cosB＝－，可得sinB＝，且B为钝角，∴C为锐角，
∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC
＝－＝－.
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC＝，
∴cosA＝cos[(A＋B)－B]
＝－×＋×＝.
[点评] 本题易错点为忽视角范围的讨论，错误得出cos(A＋B)＝而致误．
18．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，求cosβ的值．
[解析] ∵cosα＝，α∈，
∴sinα＝＝＝.
又cos(α＋β)＝－，0<α＋β<π，
∴sin(α＋β)＝
＝＝.
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×
＝＝.
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