3.1.2两角和与差的正弦、余弦公式
一、选择题
1．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为( )
A．0
B.
C．0或
D．0或±
[答案] A
[解析] 由条件得，cosαcosβ－sinαsinβ＝，
cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，
左右两边分别相加可得cosα·cosβ＝0.
2．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a、b、c的大小关系是( )
A．asin(α＋β)＝，∴α＋β为钝角，
又由sin(α＋β)＝得，cos(α＋β)＝－，
由sinα＝得，cosα＝，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝，故选B.
5．若α、β为两个锐角，则( )
A．cos(α＋β)>cosα＋cosβ
B．cos(α＋β)sinα＋sinβ
D．cos(α＋β)0，cosα>0，sinβ>0，sinα>0
∴cos(α＋β)－(cosα＋cosβ)<0，
∴cos(α＋β)0,0<α<α＋β<π，∵y＝cosx在(0，π)上单调递减．
∴cosα>cos(α＋β)，∴cosα＋cosβ>cos(α＋β)．故A错，B对；当α、β很接近于0时，sinα＋sinβ接近于0，cos(α＋β)接近于1，故D错，当α＝β＝时，C错．
6．若sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且β为第三象限角，则cosβ的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
[答案] B
[解析] 由条件得，sin[(α－β)－α]＝sin(－β)
＝－sinβ＝m，∴sinβ＝－m.
又∵β为第三象限角，
∴cosβ＝－＝－.
7．若sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝－，则cos(α－β)的值是( )
A.
B.
C.
D．1
[答案] B
[解析] ∵sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝－，
∴(sinα－sinβ)2＋(cosα－cosβ)2＝(1－)2＋(－)2
∴2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝2－
∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝，
即cos(α-β)＝.
8．若cosαcosβ＝1，则sin(α＋β)等于( )
A．－1
B．0
C．1
D．±1
[答案] B
[解析] ∵cosαcosβ＝1，
∴cosα＝1，cosβ＝1或cosα＝－1，cosβ＝－1，
∴sinα＝0，sinβ＝0，
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝0.
9．函数y＝2sin－cos(x∈R)的最小值等于( )
A．－3
B．－2
C．－1
D．－
[答案] C
[解析] y＝2sin－cos
＝2cos－cos
＝cos(x∈R)．
∵x∈R，∴x＋∈R，∴ymin＝－1.
10．在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x，y的大小关系是( )
A．x≤y
B．x＜y
C．x≥y
D．x＞y
[答案] D
[解析] ∵π>A＋B＞，∴cos(A＋B)＜0，
即cosAcosB－sinAsinB＜0，∴x＞y，故应选D.
二、填空题
11．若cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝________.
[答案] －
[解析] 由已知得cos[(α＋β)－α]＝cosβ＝－，
∵450°<β<540°，∴sinβ＝，
∴sin(60°－β)＝·－×＝－.
12．已知α、β为锐角，且tanα＝，tanβ＝，则sin(α＋β)＝________.
[答案]
[解析] ∵α为锐角，tanα＝，
∴sinα＝，cosα＝，
同理可由tanβ＝得，sinβ＝，cosβ＝.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝×＋×＝.
13．化简(tan10°－)·＝________.
[答案] －2
[解析] (tan10°－)·
＝(tan10°－tan60°)·
＝·
＝·
＝·＝·＝－2.
14．函数y＝cosx＋cos的最大值是________．
[答案]
[解析] 法一：y＝cos＋cos
＝cos·cos＋sinsin＋cos
＝cos＋sin
＝
＝cos＝cos≤.
法二：y＝cosx＋cosxcos－sinxsin
＝cosx－sinx＝
＝cos，
当cos＝1时，ymax＝.
三、解答题
15．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．
[解析] ∵<β<α<，
∴π<α＋β<，0<α－β<.
∴sin(α－β)＝＝＝.
∴cos(α＋β)＝－
＝－＝－.
则sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]
＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－.
16．求证：－2cos(α＋β)＝.
[解析] sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ.
由待证式知sinα≠0，故两边同除以sinα得
－2cos(α＋β)＝.
[点评] 在证明三角恒等式时，可先从两边的角入手——变角，将表达式中的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中的函数种类尽量减少，这是三角恒等变换的基本策略．
17．在△ABC中，若sinA＝，cosB＝，求cosC.
[解析] ∵0
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