3.1.2用二分法求方程的近似解
一、选择题
1．若函数f(x)是奇函数，且有三个零点x1、x2、x3，则x1＋x2＋x3的值为( )
A．－1 B．0
C．3 D．不确定
[答案] B
[解析] 因为f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，它有三个零点，即f(x)的图象与x轴有三个交点，故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数．
∴x1＋x2＋x3＝0.
2．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内( )
A．至少有一实数根 B．至多有一实数根
C．没有实数根 D．有惟一实数根
[答案] D
[解析] ∵f(x)为单调减函数，
x∈[a，b]且f(a)·f(b)<0，
∴f(x)在[a，b]内有惟一实根x＝0.
3．(09·天津理)设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)则y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间， (1，e)内均无零点
C．在区间内有零点；在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
[答案] D
[解析] ∵f(x)＝x－lnx(x＞0)，
∴f(e)＝e－1＜0，
f(1)＝＞0，f()＝＋1＞0，
∴f(x)在(1，e)内有零点，在(，1)内无零点．故选D.
4．(2010·天津文，4)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[答案] C
[解析] ∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，
即f(0)f(1)<0，
∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．
5．若方程x2－3x＋mx＋m＝0的两根均在(0，＋∞)内，则m的取值范围是( )
A．m≤1 B．01 D．00，x1·x2＝m>0，解得00，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
[答案] C
[解析] 若a＝0，则b≠0，此时f(x)＝bx＋c为单调函数，
∵f(1)>0，f(2)<0，∴f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点；
若a≠0，则f(x)为开口向上或向下的抛物线，若在(1,2)上有两个零点或无零点，则必有f(1)·f(2)>0，
∵f(1)>0，f(2)<0，∴在(1,2)上有且仅有一个零点，故选C.
9．(哈师大附中2009～2010高一期末)函数f(x)＝2x－logx的零点所在的区间为( )
A. B.
C. D．(1,2)
[答案] B
[解析] ∵f＝2－log＝－2<0，f＝－1>0，f(x)在x>0时连续，∴选B.
10．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
[答案] C
[解析] 令f(x)＝ex－x－2，则f(1)·f(2)＝(e－3)(e2－4)<0，故选C.
二、填空题
11．方程2x＝x3精确到0.1的一个近似解是________．
[答案] 1.4
12．方程ex－x－2＝0在实数范围内的解有________个．
[答案] 2
三、解答题
13．借助计算器或计算机，用二分法求方程2x－x2＝0在区间(－1,0)内的实数解(精确到0.01)．
[解析] 令f(x)＝2x－x2，∵f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，f(0)＝1>0，
说明方程f(x)＝0在区间(－1,0)内有一个零点．
取区间(－1,0)的中点x1＝－0.5，用计算器可算得f(－0.5)≈0.46>0.因为f(－1)·f(－0.5)<0，所以x0∈(－1，－0.5)．
再取(－1，－0.5)的中点x2＝－0.75，用计算器可算得f(－0.75)≈－0.03>0.因为f(－1)·f(－0.75)<0，所以x0∈(－1，－0.75)．
同理，可得x0∈(－0.875，－0.75)，x0∈(－0.812 5，－0.75)，x0∈(－0.781 25，－0.75)，x0∈(－0.781 25，－0.765 625)，x0∈(－0.773 437 5，－0.765 625)．
由于|(－0.765 625)－(0.773 437 5)|<0.01，此时区间(－0.773 437 5，－0.765 625)的两个端点精确到0.01的近似值都是－0.77，所以方程2x－x2＝0精确到0.01的近似解约为－0.77.
14．证明方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2.
[解析] 令f(x)＝(x－2)(x－5)－1
∵f(2)＝f(5)＝－1＜0，且f(0)＝9＞0.
f(6)＝3＞0.
∴f(x)在(0,2)和(5,6)内都有零点，又f(x)为二次函数，故f(x)有两个相异实根，且一个大于5、一个小于2.
15．求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出它的简图．
[解析] 因为x3－2x2－x＋2＝x2(x－2)－(x－2)
＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x－1)(x＋1)，
所以函数的零点为－1,1,2.
3个零点把x轴分成4个区间：
(－∞，－1]，[－1,1]，[1,2]，[2，＋∞]．
在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值(取精确到0.01的近似值)表：
x
…
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
…
y
…
－4.38
0
1.88
2
1.13
0
－0.63
0
2.63
…
在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示．
16．借助计算器或计算机用二分法求方程(x＋1)(x－2)(x－3)＝1在区间(－1,0)内的近似解．(精确到0.1)
[解析] 原方程为x3－4x2＋x＋5＝0，令f(x)＝x3－4x2＋x＋5.∵f(－1)＝－1，f(0)＝5，f(－1)·f(0)＜0，∴函数f(x)在(－1,0)内有零点x0.
取(－1,0)作为计算的初始区间用二分法逐步计算，列表如下
端点或中点横坐标
端点或中点的函数值
定区间
a0＝－1，b0＝0
f(－1)＝－1，f(0)＝5
[－1,0]
x0＝＝－0.5
f(x0)＝3.375＞0
[－1，－0.5]
x1＝＝－0.75
f(x1)≈1.578＞0
[－1，－0.75]
x2＝＝－0.875
f(x2)≈0.393＞0
[－1，－0.875]
x3＝＝－0.9375
f(x3)≈－0.277＜0
[－0.9375，－0.875]
∵|－0.875－(－0.9375)|＝0.0625＜0.1，
∴原方程在(－1,0)内精确到0.1的近似解为－0.9.
17．若函数f(x)＝log3(ax2－x＋a)有零点，求a的取值范围．
[解析] ∵f(x)＝log3(ax2－x＋a)有零点，
∴log3(ax2－x＋a)＝0有解．∴ax2－x＋a＝1有解．
当a＝0时，x＝－1.
当a≠0时，若ax2－x＋a－1＝0有解，
则Δ＝1－4a(a－1)≥0，即4a2－4a－1≤0，
解得≤a≤且a≠0.
综上所述，≤a≤.
18．判断方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1)．
[解析] 设函数f(x)＝x3－x－1，因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数f(x)＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．
取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，用计算器可算得f(1.25)＝－0.30<0.因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5)．
再取(1.25,1.5)的中点x2＝1.375，用计算器可算得f(1.375)≈0.22>0.因为f(1.25)·f(1.375)<0，所以x0∈(1.25，1.375)．
同理，可得x0∈(1.312 5,1.375)，x0∈(1.312 5，1.343 75)．
由于|1.343 75－1.312 5|<0.1，此时区间(1.312 5，1.343 75)的两个端点精确到0.1的近似值是1.3，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]精确到0.1的近似解约为1.3.
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