3.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、选择题
1．已知α为锐角，且sinα∶sin＝8∶5，则cosα的值为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] D
[解析] 由已知sinαsin＝85，即(2sin·cos)sin＝85得cos＝，则cosα＝2cos2－1＝2×－1＝.
2.的值是( )
A．sin2
B．－cos2
C.cos2
D．－cos2
[答案] D
[解析] 原式＝＝
＝－cos2.
3．若tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ的值是( )
A．－
B．－
C.
D.
[答案] D
[解析] ∵tanθ＝，
∴原式＝＝＝＝.
4．若sinα＋cosα＝－，则tanα＋＝( )
A．1
B．2
C．－1
D．－2
[答案] B
[解析] 法一：sinα＋cosα＝－?sin(α＋)＝－1，
?α＝2kπ＋，k∈Z，
∴tanα＝1，∴原式＝1＋＝2.
法二：由sinα＋cosα＝－两边平方得，
sinαcosα＝，
∴原式＝＋＝＝＝2.
5．cos·cos的值是( )
A．4
B.
C．2
D.
[答案] B
[解析] 原式＝
＝＝.
6．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是( )
A.
B.
C．－
D．－
[答案] A
[解析] 令底角为α，则顶角β＝π－2α，
∵cosα＝，∴sinα＝，
∴sinβ＝sin(π－2α)＝sin2α
＝2sinαcosα＝2××＝.
7．若sin＝，则cos的值是( )
A．－
B．－
C.
D.
[答案] A
[解析] ∵sin＝cos
＝cos＝，
∴cos＝2cos2－1
＝2×2－1＝－.
8．函数y＝的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
[答案] A
[解析] y＝＝
＝＝
＝tan，
当＋∈，k∈Z时，函数为增函数，此时x∈，k∈Z，故选A.
9．(2010·福建省福州市)已知sin10°＝a，则sin70°等于( )
A．1－2a2
B．1＋2a2
C．1－a2
D．a2－1
[答案] A
[解析] 由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin210°＝1－2a2，故选A.
10．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根为tanα、tanβ，且α，β∈，则tan的值是( )
A.
B．－2
C.
D.或－2
[答案] B
[解析] ∵，
∴tan(α＋β)＝＝，
∵tanα<0，tanβ<0，∴，
∴－π<α＋β<0，∴－<<0，
∵tan(α＋β)＝＝，∴tan＝－2，故选B.
二、填空题
11．若sin＝，则cos2α＝________.
[答案] －
[解析] ∵sin＝，∴cosα＝，
∴cos2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.
12．若cosθ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在象限是________．
[答案] 第四象限
[解析] ∵sin2θ＝2sinθcosθ<0，cosθ>0，
∴sinθ<0，∴θ是第四象限角．
13．如果tan＝2010，那么＋tan2α＝______.
[答案] 2010
[解析] ∵tan＝2010，
∴＋tan2α＝＋＝
＝＝＝tan＝2010.
14．已知sin＋cos＝，则cos2θ＝__________.
[答案] －
[解析] ∵(sin＋cos)2＝，∴sinθ＝－，
∴cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝－.
三、解答题
15．化简：.
[解析] 原式＝
＝
＝＝1.
16．已知cos＝且0.
∴原式＝
＋
＝＋
＝－＋＝－cos.
18．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos2的值．
[解析] 将sinα＋sinβ＝与cosα＋cosβ＝的两边分别平方得，
∴sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝①
cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝②
①＋②得：2＋2cos(α－β)＝.
∴cos(α－β)＝－，
∴2cos2－1＝－，∴cos2＝.
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