3.1.5和差倍角三角函数习题课
一、选择题
1．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为的偶函数
[答案] D
[解析] f(x)＝(1＋cos2x)sin2x＝2cos2xsin2x
＝sin22x＝，故选D.
2.的值为( )
A.
B.
C．2
D．4
[答案] C
[解析] 原式＝
＝＝＝2.
3．(2010·河南南阳调研)在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C等于( )
A．30°
B．150°
C．30°或150°
D．60°或120°
[答案] A
[解析] 两式平方后相加得sin(A＋B)＝，
∴A＋B＝30°或150°，
又∵3sinA＝6－4cosB>2，∴sinA>>，
∴A>30°，∴A＋B＝150°，此时C＝30°.
4．(2010·广东惠州一中)函数y＝sin＋sin2x的最小正周期是( )
A.
B．π
C．2π
D．4π
[答案] B
[解析] ∵y＝cos2x－sin2x＋sin2x＝sin，∴周期T＝π.
5．(2010·鞍山一中)已知a＝(sinα，1－4cos2α)，b＝(1,3sinα－2)，α∈，若a∥b，则tan＝( )
A.
B．－
C.
D．－
[答案] B
[解析] ∵a∥b，∴1－4cos2α＝sinα(3sinα－2)，
∴5sin2α＋2sinα－3＝0，
∴sinα＝或sinα＝－1，∵α∈，∴sinα＝，
∴tanα＝，∴tan＝＝－.
6．(2010·温州中学)已知向量a＝(sin75°，－cos75°)，b＝(－cos15°，sin15°)，则|a－b|的值为( )
A．0
B．1
C.
D．2
[答案] D
[解析] ∵|a－b|2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15°＝2＋2sin90°＝4，∴|a－b|＝2.
7．(2010·河南许昌调研)已知sinβ＝(<β<π)，且sin(α＋β)＝cosα，则tan(α＋β)＝( )
A．1
B．2
C．－2
D.
[答案] C
[解析] ∵sinβ＝，<β<π，∴cosβ＝－，
∴sin(α＋β)＝cosα＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ
＝－cos(α＋β)＋sin(α＋β)，
∴sin(α＋β)＝－cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.
8．(2010·盐城调研)若将函数y＝cosx－sinx的图象向左平移m(m>0)个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] y＝cosx－sinx＝2cos向左移m个单位得到函数y＝2cos为偶函数，
∴m＋＝kπ(k∈Z)，∴m＝kπ－，
∵k∈Z，且k>0，∴m的最小值为.
9．若tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
[答案] D
[解析] cos2θ＋sin2θ＝
＝＝.
10．(2010·重庆南开中学)已知2tanα·sinα＝3，－<α<0，则cos的值是( )
A．0
B.
C．1
D.
[答案] A
[解析] ∵2tanαsinα＝3，∴＝3，
即＝3，
∴2cos2α＋3cosα－2＝0，
∵|cosα|≤1，∴cosα＝，
∵－<α<0，∴sinα＝－，∴cos
＝cosαcos＋sinαsin＝×－×＝0.
二、填空题
11．已知sin＝，则sin＝______.
[答案]
[解析] sin＝cos
＝cos＝1－2sin2＝.
12．(2010·全国卷Ⅰ理，14)已知α为第三象限角，cos2α＝－，则tan(＋2α)＝____________.
[答案] －
[解析] 因为α是第三象限角，
∴2kπ＋π<α<2kπ＋，(k∈Z)，
∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，∴sin2α>0，
又cos2α＝－，
∴sin2α＝，∴tan2α＝＝－，
所以tan＝＝＝－.
13．求值：＝________.
[答案] －4
[解析]
＝
＝
＝
＝＝＝－4.
三、解答题
14．(2010·北京理，15)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.
(1)求f()的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
[解析] 本题考查了三角函数的化简求值及二次函数在区间上的最值．(1)可直接求解，(2)化简后转化为关于cosx的二次函数，求值即可．
(1)f()＝2cos＋sin2－4cos＝－1＋－2＝－.
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx
＝3cos2x－4cosx－1＝3(cosx－)2－，x∈R
因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx＝时，f(x)取最小值－.
15．已知0<α<，0<β<，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tan＝1－tan2，求α＋β的值．
[解析] 由3sinβ＝sin(2α＋β)
得3sin[(α＋β－α)]＝sin[(α＋β)＋α]
∴tan(α＋β)＝2tanα①
由4tan＝1－tan2得
tanα＝＝②
由①②得tan(α＋β)＝1，
又∵0<α<，0<β<，
∴0<α＋β<，∴α＋β＝.
16．(2010·苏北四市模考)在平面直角坐标系xOy中，点P在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且·＝－.
(1)求cos2θ的值；
(2)求sin(α＋β)的值．
[解析] (1)因为·＝－，
所以sin2θ－cos2θ＝－，
即(1－cos2θ)－cos2θ＝－，所以cos2θ＝，
所以cos2θ＝2cos2θ－1＝.
(2)因为cos2θ＝，所以sin2θ＝，
所以点P，点Q，
又点P在角α的终边上，
所以sinα＝，cosα＝.
同理sinβ＝－，cosβ＝，
所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝×＋×＝－.
17．(2009～2010·浙江嵊泗中学高一期末)已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，当x∈时，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)在上的表达式；
(2)求方程f(x)＝的解．
[解析] (1)当x∈时，由图象知，A＝1，＝－＝，∴T＝2π，∴ω＝1.
又f(x)＝sin(x＋φ)过点，则
＋φ＝kπ，k∈Z，
∵－<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝sin
当－π≤x<－时，－≤－x－≤，
∴f＝sin＝－sinx
而函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，则f(x)＝f
∴f(x)＝－sinx，－π≤x<－，
∴f(x)＝.
(2)当－≤x≤时，≤x＋≤π，
∵f(x)＝sin＝，
∴x＋＝或，∴x＝－或，
当－π≤x<－时，∵f(x)＝－sinx＝，
∴sinx＝－，x＝－或－，
∴x＝－，－，－，或即为所求．
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