3.2简单的三角恒等变换
一、选择题
1．设－3π<α<－，则化简的结果是( )
A．sin B．cos
C．－cos D．－sin
[答案] C
[解析] ∵－3π<α<－π，∴－π<<－π，
∴cos<0，
∴原式＝＝|cos|＝－cos.
2．若sinα＋sinβ＝(cosβ－cosα)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )
A．－π B．－
C. D.π
[答案] D
[解析] ∵α，β∈(0，π)，∴sinα＋sinβ>0.∴cosβ－cosα>0，cosβ>cosα，又在(0，π)上，y＝cosx是减函数．∴β<α∴0<α－β<π
由原式可知：2sin·cos＝(－2sin·sin)，∴tan＝，∴＝，∴α－β＝.
3．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
[答案] B
[解析] ∵sinBsinC＝cos2，∴sinBsinC＝，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C),2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，
即cosBcosC＋sinBsinC＝1，
∴cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，∴B＝C.
4．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是( )
A．[－1,1] B．[－，]
C．[－，] D．[－，]
[答案] C
[解析] cosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]
＝－sin(A－C)，
∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cosAsinC∈[－，]．
5．已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于( )
A．－ B. C．－a D．a
[答案] C
[解析] 法一：sin(α＋β)sin(α－β)
＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)
＝sin2αcos2β－cos2αsin2β
＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)
＝cos2β－cos2α＝－a，故选C.
法二：原式＝－(cos2α－cos2β)＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－a.
6．函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx的最大值是( )
A．2 B. C. D.
[答案] C
[解析] f(x)＝cosx(cosx＋sinx)＝cosx·(cosx＋sinx)＝cosxsin(x＋)＝[sin(2x＋)＋sin]＝sin(2x＋)＋
∴当sin(2x＋)＝1时，f(x)取得最大值
即f(x)max＝×1＋＝.
7．若＝－，则cosα＋sinα的值为( )
A．－ B．－ C. D.
[答案] C
[解析] 法一：原式左边＝
＝
＝－2cos＝－(sinα＋cosα)＝－，
∴sinα＋cosα＝，故选C.
法二：原式＝
＝
＝－(sinα＋cosα)＝－，
∴cosα＋sinα＝，故选C.
8．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于( )
A. B.
C．－ D．－
[答案] D
[解析] ∵5π<θ<6π，∴<<，
∴sin＝－＝－.
9．(09·江西文)函数f(x)＝(1＋tanx)cosx的最小正周期为( )
A．2π B. C．π D.
[答案] A
[解析] 因为f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＋sinx
＝2cos，
所以f(x)的最小正周期为2π.
10．已知－＜α＜－π，则的值为( )
A．－sin B．cos
C．sin D．－cos
[答案] A
[解析] 原式＝
＝＝
＝|sin|＝－sin，∴选A.
二、填空题
11．若cos2α＝m(m≠0)，则tan＝________.
[答案]
[解析] ∵cos2α＝m，∴sin2α＝±，
∴tan＝
＝＝.
12.－的值为________．
[答案] 4
[解析] 原式＝－＝
＝＝4.
13．已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________.
[答案] 1
[解析] tanβ＝＝＝tan，
∵－α，β∈且y＝tanx在上是单调增函数，
∴β＝－α，∴α＋β＝，∴tan(α＋β)＝tan＝1.
三、解答题
14．求sin42°－cos12°＋sin54°的值．
[解析] sin42°－cos12°＋sin54°
＝sin42°－sin78°＋sin54°＝－2cos60°sin18°＋sin54°
＝sin54°－sin18°＝2cos36°sin18°
＝＝
＝＝＝.
15．求cos＋cos＋cos的值．
[解析] cos＋cos＋cos＝·
＝
＝＝－.
16．方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两根能否是一个直角三角形的两个锐角的正弦值，若能，求出k的值；若不能，请说明理由．
[解析] 设直角三角形两锐角分别为α、β，设已知方程的两根为x1、x2，
则x1＝sinα，x2＝sinβ＝sin＝cosα
由韦达定理得：
x1＋x2＝sinα＋cosα＝sin
x1·x2＝sinα·cosα＝sin2α
于是有，
即，∴，
易知该混合组无解．
故原方程的两个根不可能是一个直角三角形的两个锐角的正弦值．
[点评] 此题易产生下面错解．
设直角三角形的两个锐角分别为α和β.
已知方程的两根为x1和x2，则x1＝sinα，x2＝sinβ.
又α与β互余，∴x2＝sin＝cosα.
由sin2α＋cos2α＝1得
x＋x＝1?(x1＋x2)2－2x1x2＝1.
由韦达定理得：2－2·＝1?9k2－8k－20＝0.解得：k1＝2，k2＝－.
错因是忽视了一元二次方程有实根应满足Δ≥0，锐角的三角函数值应为正值的条件．事实上，当k＝2时，原方程可化为8x2＋12x＋5＝0，此时Δ<0，方程无实根．当k＝－时，原方程化为：8x2－x－＝0，此时x1x2＝－，即sinαcosα＝－.∵α是锐角，∴该式显然不成立．
17．求函数y＝cos3x·cosx的最值．
[解析] y＝cos3x·cosx＝(cos4x＋cos2x)
＝(2cos22x－1＋cos2x)＝cos22x＋cos2x－
＝2－.
∵cos2x∈[－1,1]，
∴当cos2x＝－时，y取得最小值－；
当cos2x＝1时，y取得最大值1.
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