2013高考试题解析分类汇编(理数)5:平面向量
一、选择题
.(2013年高考上海卷(理))在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值,其中,,则满足 ( )
A. B. C. D.
D.
【解答】作图知,只有,其余均有,故选D.
.(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD版))已知点 ( )
A. B. C. D.
A
,所以,所以同方向的单位向量是,选A.
.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD版))设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有.则 ( )
A. B. C. D.
D
以AB所在的直线为x轴,以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,设AB=4,C(a,b),P(x,0)则BP0=1,A(﹣2,0),B(2,0),P0(1,0)
所以=(1,0),=(2﹣x,0),=(a﹣x,b),=(a﹣1,b)
因为恒有
所以(2﹣x)(a﹣x)≥a﹣1恒成立
整理可得x2﹣(a+2)x+a+1≥0恒成立
所以△=(a+2)2﹣4(a+1)≤0
即△=a2≤0
所以a=0,即C在AB的垂直平分线上
所以AC=BC
故△ABC为等腰三角形
故选D
.(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD版))在四边形ABCD中,,,则四边形的面积为 ( )
A. B. C.5 D.10
C
由题意,容易得到.设对角线交于O点,则四边形面积等于四个三角形面积之和
即S= .容易算出,则算出S=5.故答案C
.(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版))在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是 ( )
A. B. C. D.
D
.
在本题中,.
建立直角坐标系,设
A(2,0),
所以选D
.(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))在平面上,,,.若,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
D
【命题立意】本题考查平面向量的应用以及平面向量的基本定理。因为,所以将在直角坐标系中取点,因为,所以过点作一个半径为1的单位圆,圆心为.设,因为,所以。因为,所以,两式相加得,又,所以,即,所以,因为,所以,即,即,所以,即,所以的取值范围是,选D.
.(2013年高考湖南卷(理))已知是单位向量,.若向量满足 ( )
A. B.
C. D.
A
本题考查数量积的应用。因为,即,又,所以,不妨让固定,设,则,即的终点在以对应点为圆心,半径为1的圆上。则当与方向相同时,,当与方向相反时,,所以的取值范围是,选A.
.(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD版含答案(已校对))已知向量,若,则 ( )
A. B. C. D.
B
因为,.
所以=(2λ+3,3),.
因为,
所以=0,
所以﹣(2λ+3)﹣3=0,解得λ=﹣3.故选B.
.(2013年高考湖北卷(理))已知点...,则向量在方向上的投影为 ( )
A. B. C. D.
A
本题考查向量的投影以及数量的坐标运算。因为,所以,。所以向量在方向上的投影为,选A.
二、填空题
.(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD版含答案))已知正方形的边长为,为的中点,则_______.
2
因为已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则 =0,
故 =( )?()=()?()=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2,故答案为 2.
.(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))已知向量与的夹角为°,且,,若,且,
则实数的值为__________.
向量与的夹角为,且所以。由得,,即,所以,即,解得。
.(2013年高考新课标1(理))已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=_____.
=.
因为,,所以=0,
所以tcos60°+1﹣t=0,所以1=0,解得t=2.故答案为2.
.(2013年高考北京卷(理))向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb (λ,μ∈R),则=_________.
4
以向量、的公共点为坐标原点,建立如图直角坐标系
可得=(﹣1,1),=(6,2),=(﹣1,﹣3)
因为
所以,解之得λ=﹣2且μ=﹣
因此,==4
故答案为:4
.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD版))设为单位向量,非零向量,若的夹角为,则的最大值等于________.
2
=====,所以的最大值为2
.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD版含附加题))设分别是的边上的点,,,若 (为实数),则的值为__________.
易知
所以
.(2013年高考四川卷(理))在平行四边形中,对角线与交于点,,则_________.
2
因为四边形ABCD为平行四边形,对角线AC与BD交于点O,
所以+=,
又O为AC的中点,
所以=2,
所以+=2,
因为+=λ,
所以λ=2.
故答案为:2.
.(2013年高考江西卷(理))设,为单位向量.且,的夹角为,若,,则向量在方向上的射影为 ___________
本题考查向量的投影的概念,以及平面向量的数量积的运算。向量在方向上的射影为。,,所以向量在方向上的射影为。
.(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为______.
因为E为CD的中点,所以. 因为,所以,即,所以,解得。
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