【精选三年经典试题（数学）】2014届高三全程必备《高频题型全掌握系列》
7.数列的综合应用
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1.（衡水中学模拟）设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为（）.
（1）求、的值及的表达式；
（2）设，为的前项和，求.
解：（1）由已知易于得到， ；
当时，，可取格点个；当时,，可取格点个
∴.
（2）由题意知:
………①
∴ ………②
∴①—②得
∴
2.（湖南师范大学附中月考）已知正数组成的两个数列，若是关于的方程的两根
（1）求证：为等差数列；
（2）已知分别求数列的通项公式；
（3）求数。
（1）证明：由的两根得：
是等差数列
（2）由（1）知
∴ 又也符合该式，
（3） ①
②
①—②得
.
点评：本题考查了等差、等比数列的性质，数列的构造，数列的转化思想，乘公比错项相减法求和等。
3.（南昌市模拟）设数列满足 ，且数列是等差数列，数列是等比数列。
（I）求数列和的通项公式；
（II）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，说明理由。
解：由题意得：
＝ ；
由已知得公比
（2）
，所以当时，是增函数。
又， 所以当时，
又， 所以不存在，使。
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