基础知识： 一、二次函数 定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫二次函数.
二次函数的有关性质 a＞0时，开口向上① 开口方向  a＜0时，开口向下② 对称轴方程 x＝－
 自然定义域：R③ 定义域 指定定义域：D 图象  x＝－
x＝－
二次函数的解析式① 一般式：y＝ax2＋bx＋c② 顶点式：y＝a(x－m)2＋n，其中(m，n)是二次函数图象的顶点③ 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两实根 二、二次方程 当f(x)＝ax2＋bx＋c中，f(x)＝0时，即得到二次方程 ax2＋bx＋c＝0其解的几何意义即为二次函数的图象与x轴的交点横坐标. 根的判别式△＝b2－4ac△＞0时，方程有两个不相等的实数根；△＝0时，方程有两个相等的实数根；△＜0时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根 根与系数的关系(韦达定理)x1＋x2＝－
，x1x2＝
二次方程根的分布根的位置<=>图象位置<=>等价条件ax2＋bx＋c＝0(a＞0)若有二根x1＞1，x2＜1则f⑴＜0 若有二根x1，x2∈(2，3)则 f⑵＞0 f⑶＞0 △≥0 －
∈(2，3) 三、一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)的解集，即函数f(x)＝ax2＋bx＋c的自变量的取值范围，使其函数值f(x)＞0(或＜0)的自变量的取值范围. △＞0 △＝0 △＜0 例题： 选择填空题① f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么( )A.f⑵＜f⑴＜f⑷ B.f⑴＜f⑵＜f⑷C.f⑵＜f⑷＜f⑴ D.f⑷＜f⑵＜f⑴解：由题意，f(x)的图象关于直线x＝2对称，且图象开口向上，画出示意图，由图象知f⑷＞f⑴＞f⑵，选A x＝2② 已知y＝log
(x2－2x)在区间(－∞，0)上单调递增，则a的取值范围是( )A.a＞1 B.－1＜a＜1C.a∈R且a≠0 D.a＜－1或a＞1解：由函数的单调性的定义知：x在(－∞，0)上增大时，函数值y随之增大，故有以下过程：x: －∞
0u＝x2－2x:＋∞
0故必有0＜a2＜1∴ －1＜a＜1
且a≠0.选B③ 已知函数y＝log
(x2－6x＋7)，则y( )A.有最大值没有最小值B.有最小值没有最大值C.有最大值也有最小值D.没有最大值也没有最小值解：∵ u＝x2－6x＋7∈[－2，＋∞)而定义域要求u＞0，即u∈(0，＋∞)∴ b＝log0.5u∴ b∈(－∞，＋∞).选D 填空题①方程x2－2|x|＝a(a∈R)有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是_______.解：令y1＝x2－2|x|，y2＝a则y1＝
，其函数图象如下：思考：a为何(范围)值时，方程无实数根？有四个实数根？有三个实数根？②关于x的方程x2－2ax＋9＝0的两个实数根分别为α、β，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值是________
_______.解：方程有实数根，故△＝4a2－4×9≥0∴ a≤－3或a≥3又α＋β＝2a，αβ＝9∴ y＝(α－1)2＋(β－1)2 ＝(α＋β)2－2(α＋β)－2αβ＋2 ＝4a2－4a－16∵ a≤－3或a≥3∴ y≥8(a＝3时取等号)∴ ymin＝8 已知函数y＝x2－4ax＋2a＋30的图象与x轴无交点，求关于x的方程
＝|a－1|＋1的根的范围. 分析：由于图象与x轴没有交点， 所以△＜0，解得a的取值范围 又对于每一个a值，原方程都是一元一次方程，但由于a是变化的，可知，x是a的二次函数，又再转化为二次函数在有限制的区间内的值域
问题. 解：∵ y＝x2－4ax＋2a＋30的图象与x轴无交点，所以△＝(－4a)2－4(2a＋30)＜0解得：－2.5＜a＜3⑴当a∈(－2.5，1]时，方程化为x＝(a＋3)(2－a) ＝－a2－a＋6∈(
]⑵当a∈(1，3)时，方程化为x＝(a＋3)a＝a2＋3a∈(4，18)综上所述：x∈(
，18) 设a，b为实常数，k取任意实数时，函数y＝(k2＋k＋1)x2－2(a＋k)2x＋(k2＋3ak＋b)的图象与x轴都交于点A(1，0).① 求a、b的值；② 若函数与x轴的另一个交点为B，当k
变化时，求|AB|的最大值. 分析：由A在曲线上，得k的多项式对k恒成立，即可求的a，b的值. 解：⑴由已知条件，点A(1，0)在函数图象上，故(k2＋k＋1)－2(a＋k)2＋(k2＋3ak＋b)＝0整理得：(1－a)k＋(b＋1－2a2)＝0∵ 对k∈R，上式恒成立∴ 1－a＝0且b＋1－2a2＝0从而a＝1，b＝1y＝(k2＋k＋1)x2－2(k＋1)2x＋(k2＋3k＋1)⑵设B(α，0)，则|AB|＝|α－1|∵(k2＋k＋1)x2-2(k＋1)2x＋(k2＋3k＋1)＝0的两个根为1、α，由韦达定理1?α＝
整理得：(1－α)k2＋(3－α)k＋(1－α)＝0α＝1时，得2k＝0 ( k＝0α≠1时，∵ k∈R，∴ △≥0即(3－α)2－4(1－α
)2≥0得
：－1≤α≤
且α≠1综合得：－1≤α≤
∴ －2≤α－1≤
∴ |AB|＝|α－1|∈[0，2]即|AB|的最大值为2. 设实数a、b、c满足a2－bc－8a＋7＝0 …………①b2＋c2＋bc－6a＋6＝0 …………②求a的取值范围. 分析：如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题，转化为只含有a的不等式，是解决本题的关键，仔细分析观察方程组的特点，发现可以利用a来表示bc及b＋c，从而用韦达定理构造出a为变量的一元二次方程，由△≥0建立a的不等式. 解：由①得：bc＝a2－8a＋7 …………③ 由①②得：(b＋c)2＝a2－2a＋1 即b＋c＝±(a－1) …………④由③④得b，c为方程x2±(a－1)x＋(a2－8a＋7)＝0的两个实数
根，由于b，c∈R，所以△≥0即：[±(a－1)]2－4(a2－8a＋7)≥0即：a2－10a＋9≤0得：1≤a≤9 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程f(x)－x＝0的两
个根x1、x2满足0＜x1＜x2＜
.Ⅰ.当x∈(0，x1)时，证明x＜f(x)＜x1；Ⅱ.设函数f(x)的图象关于直线x＝x0对称，证明:x0＜
. 分析：由于涉及方程根的问题，故需用韦达定理来分析和解决. 证明:Ⅰ.令F(x)＝f(x)－x.因为x1、x2是方程f(x)－x＝0的根，得 F(x)＝a(x－x1)(x－x2)当x∈(0，x1)时，由于x1＜x2，x－x1＜0，x－x2＜0得(x－x1)(x－x2)＞0，又a＞0，得 F(x)＝a(x－x1)(x－x2)＞0即x＜f(x).而
x1－f(x)＝x1－[x－F(x)]＝x1－x＋a(x－x1)(x－x2)＝(x1－x)[1－a(x－x2)]因为0＜x＜x1＜x2＜
所以x1－x＞0，1－a(x－x2)＞1－a·
＞0得 x1－f(x)＞0即 f(x)＜x1.Ⅱ.依题意知x0＝－
.因为x1，x2是方程f(x
)－x＝0的根，即x
1，x2是方
程ax2＋(b－1)x＋c＝0的根，所以 x1＋x2＝－
 x0＝－
因为ax2＜1，所以x0＜
若关于x的二次方程7x2－(p
＋13)x＋p2－p－2＝0的两根α、β满足0＜α＜1＜β＜2，求实数p的取值范围. 解：设f(x)＝7x2－(p＋13)x＋p2－p－2 根据题意得： f(0)＞0 f⑴＜0 f⑵＞0 即 p2－p－
2＞0 p2－2p－8＜0 p2－3p＞0 解得：p∈(－2，－1)∪(3，4)

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