基础知识:
一、二次函数
定义:形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫二次函数.
二次函数的有关性质 a>0时,开口向上① 开口方向 a<0时,开口向下② 对称轴方程 x=- 自然定义域:R③ 定义域 指定定义域:D
图象
x=- x=-
二次函数的解析式① 一般式:y=ax2+bx+c② 顶点式:y=a(x-m)2+n,其中(m,n)是二次函数图象的顶点③ 交点式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两实根
二、二次方程
当f(x)=ax2+bx+c中,f(x)=0时,即得到二次方程 ax2+bx+c=0其解的几何意义即为二次函数的图象与x轴的交点横坐标.
根的判别式△=b2-4ac△>0时,方程有两个不相等的实数根;△=0时,方程有两个相等的实数根;△<0时,方程无实数根,但有两个共轭的虚数根
根与系数的关系(韦达定理)x1+x2=-,x1x2=
二次方程根的分布根的位置<=>图象位置<=>等价条件ax2+bx+c=0(a>0)若有二根x1>1,x2<1则f⑴<0
若有二根x1,x2∈(2,3)则 f⑵>0 f⑶>0 △≥0 -∈(2,3)
三、一元二次不等式
一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解集,即函数f(x)=ax2+bx+c的自变量的取值范围,使其函数值f(x)>0(或<0)的自变量的取值范围. △>0 △=0 △<0
例题:
选择填空题① f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么( )A.f⑵<f⑴<f⑷ B.f⑴<f⑵<f⑷C.f⑵<f⑷<f⑴ D.f⑷<f⑵<f⑴解:由题意,f(x)的图象关于直线x=2对称,且图象开口向上,画出示意图,由图象知f⑷>f⑴>f⑵,选A x=2② 已知y=log(x2-2x)在区间(-∞,0)上单调递增,则a的取值范围是( )A.a>1 B.-1<a<1C.a∈R且a≠0 D.a<-1或a>1解:由函数的单调性的定义知:x在(-∞,0)上增大时,函数值y随之增大,故有以下过程:x: -∞0u=x2-2x:+∞0故必有0<a2<1∴ -1<a<1且a≠0.选B③ 已知函数y=log(x2-6x+7),则y( )A.有最大值没有最小值B.有最小值没有最大值C.有最大值也有最小值D.没有最大值也没有最小值解:∵ u=x2-6x+7∈[-2,+∞)而定义域要求u>0,即u∈(0,+∞)∴ b=log0.5u∴ b∈(-∞,+∞).选D
填空题①方程x2-2|x|=a(a∈R)有且仅有两个不同的实数根,则实数a的取值范围是_______.解:令y1=x2-2|x|,y2=a则y1=,其函数图象如下:思考:a为何(范围)值时,方程无实数根?有四个实数根?有三个实数根?②关于x的方程x2-2ax+9=0的两个实数根分别为α、β,则(α-1)2+(β-1)2的最小值是_______________.解:方程有实数根,故△=4a2-4×9≥0∴ a≤-3或a≥3又α+β=2a,αβ=9∴ y=(α-1)2+(β-1)2 =(α+β)2-2(α+β)-2αβ+2 =4a2-4a-16∵ a≤-3或a≥3∴ y≥8(a=3时取等号)∴ ymin=8
已知函数y=x2-4ax+2a+30的图象与x轴无交点,求关于x的方程=|a-1|+1的根的范围.
分析:由于图象与x轴没有交点, 所以△<0,解得a的取值范围 又对于每一个a值,原方程都是一元一次方程,但由于a是变化的,可知,x是a的二次函数,又再转化为二次函数在有限制的区间内的值域问题.
解:∵ y=x2-4ax+2a+30的图象与x轴无交点,所以△=(-4a)2-4(2a+30)<0解得:-2.5<a<3⑴当a∈(-2.5,1]时,方程化为x=(a+3)(2-a) =-a2-a+6∈(]⑵当a∈(1,3)时,方程化为x=(a+3)a=a2+3a∈(4,18)综上所述:x∈(,18)
设a,b为实常数,k取任意实数时,函数y=(k2+k+1)x2-2(a+k)2x+(k2+3ak+b)的图象与x轴都交于点A(1,0).① 求a、b的值;② 若函数与x轴的另一个交点为B,当k变化时,求|AB|的最大值.
分析:由A在曲线上,得k的多项式对k恒成立,即可求的a,b的值.
解:⑴由已知条件,点A(1,0)在函数图象上,故(k2+k+1)-2(a+k)2+(k2+3ak+b)=0整理得:(1-a)k+(b+1-2a2)=0∵ 对k∈R,上式恒成立∴ 1-a=0且b+1-2a2=0从而a=1,b=1y=(k2+k+1)x2-2(k+1)2x+(k2+3k+1)⑵设B(α,0),则|AB|=|α-1|∵(k2+k+1)x2-2(k+1)2x+(k2+3k+1)=0的两个根为1、α,由韦达定理1?α=整理得:(1-α)k2+(3-α)k+(1-α)=0α=1时,得2k=0 ( k=0α≠1时,∵ k∈R,∴ △≥0即(3-α)2-4(1-α)2≥0得:-1≤α≤且α≠1综合得:-1≤α≤∴ -2≤α-1≤∴ |AB|=|α-1|∈[0,2]即|AB|的最大值为2.
设实数a、b、c满足a2-bc-8a+7=0 …………①b2+c2+bc-6a+6=0 …………②求a的取值范围.
分析:如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题,转化为只含有a的不等式,是解决本题的关键,仔细分析观察方程组的特点,发现可以利用a来表示bc及b+c,从而用韦达定理构造出a为变量的一元二次方程,由△≥0建立a的不等式.
解:由①得:bc=a2-8a+7 …………③ 由①②得:(b+c)2=a2-2a+1 即b+c=±(a-1) …………④由③④得b,c为方程x2±(a-1)x+(a2-8a+7)=0的两个实数根,由于b,c∈R,所以△≥0即:[±(a-1)]2-4(a2-8a+7)≥0即:a2-10a+9≤0得:1≤a≤9
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1、x2满足0<x1<x2<.Ⅰ.当x∈(0,x1)时,证明x<f(x)<x1;Ⅱ.设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明:x0<.
分析:由于涉及方程根的问题,故需用韦达定理来分析和解决.
证明:Ⅰ.令F(x)=f(x)-x.因为x1、x2是方程f(x)-x=0的根,得 F(x)=a(x-x1)(x-x2)当x∈(0,x1)时,由于x1<x2,x-x1<0,x-x2<0得(x-x1)(x-x2)>0,又a>0,得 F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0即x<f(x).而x1-f(x)=x1-[x-F(x)]=x1-x+a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1-a(x-x2)]因为0<x<x1<x2<所以x1-x>0,1-a(x-x2)>1-a·>0得 x1-f(x)>0即 f(x)<x1.Ⅱ.依题意知x0=-.因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根,所以 x1+x2=- x0=-因为ax2<1,所以x0<
若关于x的二次方程7x2-(p+13)x+p2-p-2=0的两根α、β满足0<α<1<β<2,求实数p的取值范围.
解:设f(x)=7x2-(p+13)x+p2-p-2
根据题意得:
f(0)>0
f⑴<0
f⑵>0
即 p2-p-2>0
p2-2p-8<0
p2-3p>0
解得:p∈(-2,-1)∪(3,4)
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