一、基础知识:(参阅《金牌之路·竞赛辅导·高中数学》第一讲:集合;第三十八讲:容斥原理;《金牌之路·竞赛解题指导·高中数学》第2讲:集合) 元素与集合:a∈A,b(A 集合与集合:AB,A(B,A(B,A∩B,A∪B, UA,…… 差集:A-B={x|x∈A且x(B}(部分资料上用“A\B”表示) 集合运算律:(略) n个元素的集合所有子集个数为:2n 覆盖与划分:如果集合S=S1∪S2∪……∪Sn,则S1、S2、……、Sn叫做集合S的一个覆盖;如果同时又有Si∩Sj=φ(i≠j),则S1、S2、……、Sn叫做集合S的一个划分. 容斥原理:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B) card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C) -card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A) +card(A∩B∩C) 该结论可以推广到n个集合. 命题与推理:简单命题与复合命题,逻辑关连词“或”、“且”、“非”的应用,逆命题、否命题、逆否命题及其真假性的判断 充要条件:如果A(B,则称A是B的充分条件,同时称B是A的必要条件 数学悖论:对于命题p,如果p正确,则可以推导出“非p”,而如果p错误,又可以推导出p正确。也称“二难问题”。 二、例题: 已知集合A={1,3,x},B={1,x2},A∪B={1,3,x},则这样的x的不同的值有( )个 A.1 B.2 C.3 D.4已知集合M中的元素都是自然数,且如果x∈M,则8-x∈M,则满足这样条件的集合M的个数为( )(注:自然数包括0) A.64 B.32 C.16 D.8求集合{x∈Z|≤2x<32}的真子集个数. 在1~120的120个自然数中,素数与合数各有多少个? 已知M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq2},且M=N,求q的值. 在数理化三科竞赛辅导中,高一10、11、12班参加数学辅导的有168人,参加物理辅导的有187人,参加化学辅导的有155人,数学、物理两科都参加的有139人,数学、化学两科都参加的有127人,物理、化学两科都参加的有135人,数理化三科都参加的有102人,问这三个班总共有多少人至少参加了一科的辅导? 解:根据容斥原理,至少参加一科辅导的学生人数为: 168+187+155-139-127-135+102=211 求证:任意n+1个整数中,总有两个整数的差能被n整除。 提示:利用余数构造n个集合,根据抽屉原理,至少有两个整数放在一个集合里,它们同余,它们的差一定能被n整除. 证明:若购买超过17千克(整数千克)的粮食,只用3千克和10千克的粮票支付,而无需要找补。 解:本题其实就是证明大于17的整数都能表示为3m+10n的形式,其中m,n都是非负整数.注意到:大于17的整数可以写成3k,3k+1,3k+2(k≥6)的形式,而3k+1=3(k-3)+10,3k+2=3(k-6)+10×2,因此它们都能够表示成3m+10n的形式,其中m,n都是非负整数. 设A是数集,满足若a∈A,则∈A,且1(A. ⑴若2∈A,则A中至少还有几个元素?求出这几个元素. ⑵A能否为单元素集合?分别在实数集和复数集中进行讨论. ⑶若a∈A,证明:1-∈A. 解:⑴2∈A ( -1∈A ( ∈A ( 2∈A ∴ A中至少还有两个元素:-1和 ⑵如果A为单元素集合,则a= 即a2-a+1=0 该方程无实数解,故在实数范围内,A不可能是单元素集 但该方程有两个虚数解:a=i 故在复数范围内,A可以是单元素集,A={i}或A={i} ⑶a∈A ( ∈A ( ∈A,即1-∈A 设S为集合{1,2,3,……,50}的一个子集,且S中任意两个元素之和不能被7整除,则S中元素最多有多少个? 将这50个数按照7的余数划分成7个集合 A0={7,14,21,28,35,42,49} A1={1,8,15,22,29,36,43,50} A2={2,9,16,23,30,37,44} A3={3,10,17,24,31,38,45} A4={4,11,18,25,32,39,46} A5={5,12,19,26,33,40,47} A6={6,13,20,27,34,41,48} 除去A0中的7个元素外,其余集合中的元素都不能被7整除,而且其余六个集合的每一个集合中任意两个元素之和也不能被7整除,但是,A1和A6、A2和A5、A3和A4中如果各取一个元素的话,这两个元素之和能够被7整除,因此,所求集合中的元素可以这样构成:A0中取一个,然后在A1和A6、A2和A5、A3和A4每一组的两个集合中取一个集合中的所有元素,为了“最多”,必须取A1中的8个,然后可以取A2、A3中各7个元素,因此S中元素最多有1+8+7+7=23个 已知集合A中有10个元素,且每个元素都是两位整数,证明:一定存在这样两个A的子集,它们中没有相同的元素,而它们的元素之和相等. 解:这10个元素的总和S<100×10=1000 而A的子集总共有210=1024>1000>S 根据抽屉原理,至少存在两个子集,他们的元素之和相等,记为M、N, 如果M、N没有公共元素,则M、N就是满足题意的子集,命题得证. 如果M、N中有公共元素,记M∩N=Q, 考查集合M'=M-Q,N'=N-Q 则M'、N'中没有公共元素,且M'、N'的元素之和相等,同时它们都是A的子集. 即M'、N'为所求集合. 命题成立! 老师手中拿有三顶白色帽子和两顶红色帽子,他让三个学生按前后顺序站成一列,然后让他们闭上眼睛,给他们每人戴上一顶帽子,并将剩下的两顶帽子藏了起来,三人睁开眼睛后,后面的人可以看见前面人的帽子颜色.这时老师问:“你们谁能判断出自己戴的帽子的颜色?”结果三人都说:“不能!”老师又说:“你们再考虑考虑,能判断出来吗?”三人思考了一会儿,还是都说:“不能!”老师再一次问:“真的不能吗?”,这时,站在最前面的同学突然说:“老师,我知道我戴的帽子颜色了!”请问,这位同学戴的帽子是什么颜色的?他又是怎样判断出自己帽子的颜色的? 答:白色. 不妨从前到后记三人为甲乙丙, 第一次问,甲乙自然无法判断,而丙也无法判断,说明甲乙二人戴的帽子颜色为“两白”或“一红一白” 第二次问,丙的情形没有变化,也无法判断,这时,甲和乙可以动脑筋了,既然甲乙的帽子颜色为“两白”或“一红一白”,如果乙看到甲的帽子颜色为红色,则乙的帽子颜色肯定为白色,这样乙就应该在老师第二次提问时回答出答案,这说明乙看到的甲的帽子颜色为白色.因此乙无法判断自己帽子的颜色. 这样,当老师第三次提问时,甲就可以利用前两次乙和丙“不知道”的回答给自己的提示,从而准确地判断出自己所戴帽子的颜色为白色. 孙膑是中国古代著名的军事学家,他的兵法众人皆知.一天,大王决定要考一考孙膑的才能,便对孙膑说:“请你用计让我走下我的宝座.”一旁的庞涓争着说:“我把大王拖下来!”大王对他的答案立即给予否定:“这不是用计!”庞涓又说:“那我用火烧!”大王也不以为然,这时孙膑说:“大王,要你走下宝座确实不易,但如果你来到宝座下面的话,我可以用计让你走回去!”大王一心要试一试孙膑的智力,毫不犹豫地走了下来等待孙膑用计,这时孙膑说:“大王,我已经成功了!”大伙儿一时都糊涂了,这是怎么回事呢? 其实这是孙膑给大王设下了一个“二难”的格局,如果大王不下宝座,则孙膑的的前提“如果你来到宝座下面”不成立,这样我的智力无法表现出来了,而如果大王走下宝座,则“我已经让你走下了宝座”。因此,无论大王怎么样动作,孙膑都能够保证自己至少不输! 这里是五间并排的商店。它们的店员分别是高太太(她不是美容师)、林先生(他不是水果商)、刘先生(他不是药商)、李先生(他不是杂货商)及卢小姐(她不是开花店的)。 卢小姐的店铺位于这排商店的最后一间,刘先生的隔邻是杂货店,而他跟水果商很友善,希望有一天她能把店铺转让给他。 如果上面这一段文字已经能确定出每间店铺的主人,你能得出详细结果吗? 解:注意:题目叙述中已经透露出水果商是女性,并注意到“这一段文字已经能确定出每间店铺的主人”,画出推理表即可得出正确结论 美容师 水果商 药商 杂货商 开花店  高太太 × O × × ×  林先生 × × × O ×  刘先生 × × × × O  李先生 × × O × ×  卢小姐 O × × × ×   练习: 集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},若A∩B={-3},则a的值是( ) A.0 B.1 C.2 D.-1 设A={x∈Z|x2-px+15=0},B={x∈Z|x2-5x+q=0},若A∪B={2,3,5},则集合A,B分别是( ) A.{3,5},{2,3} B.{2,3},{3,5} C.{2,5},{3,5} D.{3,5},{2,5} 50名学生参加跳远和铅球两项测试,成绩及格的人数分别为40人和31人,两项成绩都不及格的有4人,那么两项成绩都及格的有( )人 A.35 B.25 C.28 D.15 集合{x∈N|0<|x-1|<3}的真子集个数为( ) A.16 B.15 C.8 D.7 设A={x|2x2-px+q=0},B={x|6x2+(p+2)x+5+q=0},若A∩B={},求A∪B. 已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:①C(A∪B,且C中含有3个元素,②C∩A≠φ. 已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+(a-1)=0},C={x|x2-mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,求实数a的值和m的取值范围. (理发师悖论)某个小岛上只有一个理发师,因此小岛上的所有人理发都只好找这个理发师,一天,这个理发师自豪地说:“我给这个小岛上所有不给自己理发的人理发,也只给这些人理发!”请问:理发师的这句话有什么问题?

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