函数方程的概念： 1.函数方程的定义 含有未知函数的等式叫做函数方程。如f(x＋1)=x、f(－x)=f(x)、f(－x)= －f(x)、f(x＋2)=f(x)等。其中f(x)是未知函数 2.函数方程的解 能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。如f(x)=x－1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解 3.解函数方程 求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程 4.定理（柯西函数方程的解） 若f(x)是单调（或连续）函数且满足f(x＋y)=f(x)
＋f(y) (x,y∈R)、则f(x)=xf(1) 证明：由题设不难得 f(x1＋x2＋…＋xn)=f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn) 取x1=x2=…=xn=x，得f(nx)=nf(x) (n∈N+) 令x=0，则f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 --------- （1） x=1，则f(n)=nf(1) x=
，则f(m)=nf(
) ，解得f(
)=
f(m)=
f(1) --------- (2) x=－
，且令y=－x＞0，则f(x)＋f(y)=f(x＋y)=f(0)=0 ∴f(x)=－f(y)=－yf(1)=xf(1) (m,n∈N+,且(m,n)=
1) ---------(3) 由上述（1），（2），（3）知：对任意有理数x均有f(x)=xf(1) 另一方面，对于任意的无理数x，因f(x)连续，取以x为极限的有
理数序列{xn}，则
有 ：f(x)=
f(xn)=
xnf(1)=xf(1) 综上所述，对于任意实数x，有 f(x)=xf(1) 函数方程的解法： 1.代换法（或换元法） 把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数
例1 （1）已知f(2x－1)=x2＋x，那麽f(x)=______________。 略解：设t=2x－1，则x=
(t＋1)，那麽f(t)=
(t＋1)2＋

(t＋1)=
t2＋t＋
故f(x)=
x2＋x＋
(2) 已知f(
＋1)=x＋2
，那麽f(x)=____________。 略解：f(
＋1)=(
＋1)2－1，故f(x)=x2－1 (x≥1) (3) 已知f(x＋
)=x2＋
，那麽f(x)=__
_____________。 略解：f(x＋
)=(x＋
)2－2，故f(x)=x2－2 (|x|≥2) 设ab≠0,a2≠b2，求af(x)＋bf(
)=cx的解 解：分别用x=
，x=t代入已知方程，得 af(
)＋bf(t)=
------(1) af(t)＋bf(
)=ct------(2) 由（1），（2）组成方程组解得 f(t)=
即： f(x)=
2.待定系数法 当函数方程中的未知数是多项式时，可用此法经比较系数而得 已知f(x)是一
次函数，且f{f[f---f(x)]}=1024x＋1023。求f(x)

10次 解：设f(x)=ax＋b (a≠0)，记f{f[f…f(x)]}=fn(x)，则 n次 f2(x)=f[f(x)]=a(ax＋b)＋b=a2x＋b(a＋1) f3(x)=f{f[f(x)]}=a[a2x＋b(a＋1)]＋b=a3x＋b(a2＋a＋1) 依次类推有：f10(x)=a10x＋b(a9＋a8＋…＋a＋1)=a10x＋
由题设知： a10=1024 且
=1023 ∴a=2，b=1 或 a=－2，b=－3 ∴f(x)=2x＋1 或 f(x)=－2x－3 3.迭代法（见竞赛辅导第三讲函数迭代知识） 由函数方程找出函数值之间的关系，通过n次迭代得到函数方
程的解法 设f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋xy。求f(x) 解：令y=1，得f(x＋1)=f(x)＋x＋1 再依次令x=1，2，…，n－1，有 f(2)=f(1)＋2 f(3)=f(2)＋3 …… f(n－1)=f(n－2)＋(n－1) f(n)=f(n－1)＋n 依次代入，得 f(n)=f(1)＋2＋3＋…＋(n－1)＋n=
∴f(x)=
(x∈N+) ，已知f(1)
=
且当n＞1时有
。求f(n) (n∈N+)
解：把已知等式（递推公式）进行整理，得 f(n－1)－f(n)=2(n＋1)f(n)f(n－1) ∴

=2(n＋1) 把n依次用2，3，…，n代换，得
－
=2×3
－
=2×4
……

=2(n＋1) 上述(n－1)个等式相加，得

=2[3＋4＋…＋(n＋1)]=(n－1)(n＋4) ∴
=
＋(n－1)(n＋4)=n2＋3n＋1 ∴f(n)=
4.柯西法 在f(x)单
调（或连续）的条件下，利用柯西函数方程的解求解 设f(x)连续且恒不为0，求函数方程f(x＋y)=f(x)f(y)的解 解：∵f(x)=f(
＋
)=f(
)f(
)≥0 若存在x0∈R，使f(x0)=0。则对一切实数x，有 f(x)=f(x－x0＋x0)=f(x－x0)f(x0)=0 这与f(x)不恒为0矛盾，故f(x)＞0 对题设f(x＋y)=f(x)f(y)两边取自然对数，得 ㏑f(x＋y)=㏑f(x)f(y) ∴㏑f(x＋y)=㏑f(x)＋㏑f(y) 令g(x)=㏑f(x) ∵f(x)＞0且连续 ∴g(x)连续且满足g(x＋y)=g(x)＋g(y).由定理知： g(x)=g(1)x 故 ㏑f(x)=x㏑f(1) ∴f(x)=ex㏑f(1)=f(1)x 令f(1)=a，则f(x)=ax (a＞0) 类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得： 若f(xy)=f(x)＋f(y) (x＞0,y＞0),则f(x)=㏒ax 若f(xy)=f(x)f(y) (x＞0,y＞0),则f(x)=x2 若f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋kxy,则f(x)=ax2＋bx 若f(x＋y)＋f(x－y)=2f(x),则f(x)=ax＋b 课后练习： 下面四个数中，满足
=
[f(x)＋f(y)]的函数是 （ ） A.㏑x B.
C.3x D.3x 如果对x∈R有2f(1－x)＋1=xf(x)，那麽f(x)=__________。 对任意实数x,y，函数f(x)有f(x＋y)=f(x2)＋f(2y)，则f(1985)=( ) A.1985 B.
C.3990 D.以上答案都不对 已知f(1)=1,f(n)－f(n－1)=an,n∈N+。求f(n) 解方程 xf(x)＋2f(
)=1 已知f(x)连续且定义在非零实数集上，满足
，求f(x)

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