整数的整除性 定义：设a，b为二整数，且b≠０，如果有一整数c，使a＝bc，则称b是a的约数，a是b的倍数，又称b整除a，记作b|a. 显然，１能整除任意整数，任意整数都能整除０. 性质：设a，b，c均为非零整数，则 ①．若c|b，b|a，则c|a. ②．若b|a，则bc|ac ③．若c|a，c|b，则对任意整数m、n，有c|ma＋nb ④．若b|ac，且(a，b)＝1，则b|c证明：因为(a，b)＝1则存在两个整数s，t，使得 as＋bt＝1∴ asc＋btc＝c∵ b|ac ( b|asc∴ b|(asc＋btc) ( b|c ⑤．若(a，b)＝1，且a|c，b|c，则ab|c证明：a|c，则c＝as(s∈Z)又b|c，则c＝bt(t∈Z)又(a，b)＝1∴ s＝bt'(t'∈Z)于是c＝abt'即ab|c ⑥．若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c ⑦．(a－b)| (an－bn)(n∈N)，(a＋b)|(an＋bn)(n为奇数) 整除的判别法：设整数N＝
①.2|a1
2|N ，  　5|a1
5|N ②.3|a1＋a2＋…＋an
3|N 　9|a1＋a2＋…＋an
9|N ③.4|
　
　4|N 　25|
　
　25|N ④.8|

8|N 　125|

125|N ⑤．7||
－
|
7|N ⑥．11||
－
|
11|N ⑦．11|[(a2n＋1＋a2n－1＋…＋a1)－(a2n＋a2n－2＋…＋a2)] 
11|N ⑧．13||
－
|
13|N 推论：三个连续的整数的积能被６整除. 例题： 1.设一个五位数
，其中d－b＝3，试问a，c为何值时，这个五位数被11整除.解：11|
∴ 11|a＋c＋d－b－a即11|c＋3∴ c＝81≤a≤9，且a∈Z 2.设72|
，试求a，b的值.解：72＝8×9，且(8，9)＝1∴ 8|
，且9|
∴ 8|
( b＝6且 9|a＋6＋7＋3＋6即9|22＋a∴ a＝5 3.设n为自然数，A＝3237n－632n－855n＋235n，求证:1985|A.证明：∵1985＝397×5 A＝(3237n－632n)－(855n－235n) ＝(3237－632)×u－(855－235)×v(u，v∈Z) ＝5×521×u－5×124×v ∴5|A 又A＝(3237n－855n)－(623n－235n) ＝(3237－855)×s－(623－235)×t(s，t∈Z) ＝397×6×s－397×t ∴ 397｜A 又∵(397,5)＝1∴397×5｜A即1985｜A 4.证明：没有x，y存在，使等式x2＋y2＝1995(x，y∈Z)成立. 证：假设有整数x，y存在，使x2＋y2＝1995成立。 ∵x2，y2被４除余数为０或１. ∴x2＋y2被４除余数为０，１或２. 又∵1995被４除余数为３. ∴得出矛盾，假设不成立. 故没有整数x，y存在，使x2＋y2＝1995成立.费马小定理：若p是素数，(m，p)＝1则 p|mp－1－1 5.试证：999…9能被13整除. 12个 证明：∵10－1＝9,100－1＝99,…?1012－1＝999…9. 　　　　　　　　　　　　　 　12个 又（10,13）=1 ∴13｜(1013－1－1),即13｜(1012－1) ∴13 ｜999…9. 　　　　12个 6.请确定最小的正整数A，其末位数是6，若将未位的6移至首位，其余数字不变，其值变为原数的4倍.解：设该数为A＝
，其中a1＝6令x＝
则A＝
＝x·10＋6于是4A＝
＝6×10n－1＋x即有4×10x＋24＝6×10n－1＋x x＝
∵ (2，13)＝1，x是整数∴ 13|(10n－1－4)n＝1，2时，10n－1－4＜10显然不满足条件n＝3时，10n－1－4＝96 不满足条件n＝4时，10n－1－4＝996 不满足条件 n＝5时，10n－1－4＝9996不满足条件n＝6时，10n－1－4＝99996 满足条件 ∴ x＝
＝15384即A＝153846 7.一个正整数，如果用７进制表示为
，如果用５进制表示为
，请用10进制表示这个数.解：由题意知：0＜a,c≤4,0≤b≤4,设这个正整数为n,则 n＝
＝a×72＋b×7＋c, n=
=c×52＋b×5＋a ∴49a＋7b＋c＝25c＋5b＋a 48a＋2b－24c＝0 b＝12(c－2a) ∴12｜b, 又∵0≤b≤4 　　∴b＝0, ∴c＝2a ∴当a＝1,c＝2时，n＝51 当a＝2,c＝4时，n＝102 练习： 1.证明：设N＝19881988－19861986，则1987∣N 2.设n是自然数，求证n5－n可被30整除. 3.请确定最小的正整数A，其末位数为2，若将末位数2移至首位，其余数字不变，则是原数的2倍. 4.一个正整数，若用9进制表示为
，若用7进制表示为
，请用10进制表示此数. 5.五位数
能被4整除，最末两位组成的数
能被6整除，求此五位数.

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