【基础知识】 1、概念：①、递归式：一个数列
中的第
项
与它前面若干项
，
，…，
（
）的关系式称为递归式。 ②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。 2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。 3、思想策略：构造新数列的思想。 4、常见类型： 类型Ⅰ：
（一阶递归） 其特例为：（1）
（2）
（3）
解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。 类型Ⅱ：
（二阶递归） 解题方法：利用特征方程
，求其根
、
，构造
，代入初始值求得
。 类型Ⅲ：
其中函数
为基本初等函数复合而成。 解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。 【例题】 例1、已知数列
满足以下递归关系
，求通项
。 例2、已知数列
满足
，求通项
。 例3、已知数列
满足
，求通项
。 例4、已知数列
满足
，求通项
。 例5、由自然数组成的数列
，满足
，
，求
。 例6、已知数列
满足
，
（
），求
。 例7、已知
，且
，方程
有唯一解，设
（
），求
。 例8、已知数列
中，
，
，求
。 例9、设正数列
满足
，证明
（
，
，
，…） 【练习】 1、已知数列
满足以下递归关系，求
。（1）
，
（
） （2）
，
（
） （3）
，
（
） （4）
，
（
） （5）
，
（
为前
项和） （6）
，
（
） （7）
2、已知数列
和
中，
，
，且
，
，求
和
。 3、已知
，
（
，1，2，3，4，…），证明
（
）。 4、已知数列
满足：
，证明
是不能被3整除的整数。

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