必修四模块综合能力检测题
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(09·全国Ⅰ文)已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan(α＋β)＝( )
A. B．－
C. D．－
[答案] B
[解析] ∵tanβ＝3，tanα＝4，
∴tan(α＋β)＝＝＝－.
2．(09 广东文)函数y＝2cos2－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
[答案] A
[解析] 因为y＝2cos2－1＝cos＝sin2x为奇函数，T＝＝π，所以选A.
3．(09·山东文)将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝2cos2x B．y＝2sin2x
C．y＝1－sin(2x＋) D．y＝cos2x
[答案] A
4．(09·浙江文)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A．(，)
B．(－，－)
C．(，)
D．(－，－)
[答案] D
[解析] 设c＝(m，n)，∵c＋a＝(m＋1，n＋2)，a＋b＝(3，－1)，
∴由(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)得：
，解得m＝－，n＝－.
故选D.
5．函数y＝cosx·|tanx|的大致图象是( )
[答案] C
[解析] ∵y＝cosx·|tanx|
＝，故选C.
6．在△ABC中，sinA＝，cosB＝，则cosC的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
[答案] C
[解析] ∵cosB＝，∴sinB＝，
∵sinB>sinA，A、B为△ABC的内角，
∴B>A，∴A为锐角，
∵sinA＝，cosA＝，
∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB
＝－×＋×＝.
7．已知a＝(1,3)，b＝(2＋λ，1)，且a与b成锐角，则实数λ的取值范围是( )
A．λ>－5
B．λ>－5且λ≠－
C．λ<－5
D．λ<1且λ≠－
[答案] B
[解析] ∵a与b夹角为锐角，∴a·b＝2＋λ＋3>0，∴λ>－5，
当a与b同向时，存在正数k，使b＝ka，
∴，∴，因此λ>－5且λ≠－.
8．(09·陕西理)若3sinα＋cosα＝0，则的值为( )
A.
B.
C.
D．－2
[答案] A
[解析] ∵3sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－，
∴原式＝＝＝＝，故选A.
9．若sin4θ＋cos4θ＝1，则sinθ＋cosθ的值为( )
A．0
B．1
C．－1
D．±1
[答案] D
[解析] 解法一：由sin4θ＋cos4θ＝1知
或，
∴sinθ＋cosθ＝±1.
解法二：∵sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝1，
∴sin2θcos2θ＝0，∴sinθcosθ＝0，
∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝1，
∴sinθ＋cosθ＝±1.
10．a与b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a＝( )
A．3
B．9
C．12
D．13
[答案] D
[解析] a·b＝2×5×cos120°＝－5，
∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b＝8－(－5)＝13.
11．设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A、B、D三点共线，则k的值为( )
A．－
B．－
C．－
D．不存在
[答案] A
[解析] ＝＋＝(－ke1－e2)＋(3e1－2ke2)
＝(3－k)e1－(1＋2k)e2，
∵A、B、D共线，∴∥，
∴＝，∴k＝－.
12．(09·宁夏、海南理)已知O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，且·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A．重心 外心 垂心
B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心
D．外心 重心 内心
(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)
[答案] C
[解析] ∵O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，
∴O是△ABC外接圆的圆心，
由＋＋＝0，得N是△ABC的重心；
由·＝·＝·得
·(－)＝·＝0，
∴PB⊥CA，同理可证PC⊥AB，PA⊥BC，
∴P为△ABC的垂心．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．
[答案] 1－
[解析] y＝2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x
＝1＋sin，
∵x∈R，∴ymin＝1－.
14．在?ABCD中，M、N分别是DC、BC的中点，已知＝c，＝d，用c、d表示＝________.
[答案] d－c
[解析] d＝＋＝＋ ①
c＝＋＝＋ ②
解①②组成的方程组得＝c－d，＝d－c.
15．已知点P(sinα＋cosα，tanα)在第二象限，则角α的取值范围是________．
[答案] 2kπ－<α<2kπ或2kπ＋<α<2kπ＋ k∈Z
[解析] ∵点P在第二象限，∴，
如图可知，α的取值范围是2kπ－<α<2kπ或2kπ＋<α<2kπ＋ k∈Z.
16．如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.
[答案] c＋a－b
[解析] ＝＋＝＋
＝＋(－)＝c＋a－b.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)(09·湖南文)已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求tanθ的值；
(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．
[解析] (1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，
于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，
所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，
即sin2θ＋cos2θ＝－1，
于是sin＝－.
又由0<θ<π知，<2θ＋<，
所以2θ＋＝，或2θ＋＝.
因此θ＝，或θ＝.
18．(本题满分12分)(09·重庆文)设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.
(1)求ω的值；
(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到，求y＝g(x)的单调增区间．
[解析] (1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2
＝sin(2ωx＋)＋2，
依题意得＝，故ω＝.
(2)f(x)＝sin＋2，
依题意得g(x)＝sin＋2
＝sin＋2，
由2kπ－≤3x－≤2kπ＋ (k∈Z)解得
kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
故g(x)的单调增区间为 (k∈Z)．
19．(本题满分12分)(09·陕西文)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R，的周期为π，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的最值．
[解析] (1)由最低点为M得A＝2，
由T＝π得ω＝＝＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．
由点M在图象上得2sin＝－2
即sin＝－1，
∴＋φ＝2kπ－
即φ＝2kπ－，k∈Z，
又φ∈，∴k＝1，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最小值1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
20．(本题满分12分)(北京通州市09～10高一期末)已知向量a＝(cosωx，sinωx)，b＝sin(ωx,0)，且ω>0，设函数f(x)＝(a＋b)·b＋k，
(1)若f(x)的图象中相邻两条对称轴间距离不小于，求ω的取值范围；
(2)若f(x)的最小正周期为π，且当x∈－，时，f(x)的最大值为2，求k的值．
[解析] ∵a＝(cosωx，sinωx)，b＝(sinωx,0)，
∴a＋b＝(cosωx＋sinωx，sinωx)．
∴f(x)＝(a＋b)·b＋k＝sinωxcosωx＋sin2ωx＋k
＝sin2ωx－cos2ωx＋＋k
＝sin＋＋k.
(1)由题意可得：＝≥.
∴ω≤1，又ω>0，
∴ω的取值范围是0<ω≤1.
(2)∵T＝π，∴ω＝1.
∴f(x)＝sin＋＋k
∵－≤x≤，∴－≤2x－≤.
∴当2x－＝，
即x＝时，f(x)取得最大值f＝2.
∴sin＋＋k＝2.∴k＝1.
21．(本题满分12分)(09·江苏文)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.
[解析] (1)∵a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，
c＝(cosβ，－4sinβ)
∵a与b－2c垂直，∴a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝4cosαsinβ＋4sinαcosβ－2(4cosαcosβ－4sinαsinβ)
＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，∴tan(α＋β)＝2.
(2)∵b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)
∴|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β
＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β，
当sin2β＝－1时，最大值为32，
∴|b＋c|的最大值为4.
(3)由tanαtanβ＝16得sinαsinβ＝16cosαcosβ
即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，∴a∥b.
22．(本题满分14分)(09·福建文)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<.
(1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；
(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．
[解析] 解法一：(1)由coscosφ－sinsinφ＝0得coscosφ－sinsinφ＝0，
即cos＝0.
又|φ|<，∴φ＝；
(2)由(1)得，f(x)＝sin.
依题意，＝.
又T＝，故ω＝3，∴f(x)＝sin.
函数f(x)的图象向左平移m个单位后，所得图象对应的函数为g(x)＝sin，
g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)，
即m＝＋(k∈Z)．
从而，最小正实数m＝.
解法二：(1)同解法一．
(2)由(1)得，f(x)＝sin.
依题意，＝.
又T＝，故ω＝3，
∴f(x)＝sin.
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所得图象对应的函数为g(x)＝sin.
g(x)是偶函数当且仅当g(－x)＝g(x)对x∈R恒成立，
亦即sin＝sin对x∈R恒成立．
∴sin(－3x)cos＋cos(－3x)sin
＝sin3xcos＋cos3xsin，
即2sin3xcos＝0对x∈R恒成立．
∴cos＝0，
故3m＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴m＝＋(k∈Z)，
从而，最小正实数m＝.
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