必修四模块综合素质检测题
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知sinα＝－，<α<，则角α等于( )
A.
B.
C.
D.
[答案] D
2．已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|a＋b|不超过5，则k的取值范围是( )
A．[－4,6]
B．[－6,4]
C．[－6,2]
D．[－2,6]
[答案] C
[解析] 由|a＋b|≤5平方得a2＋2a·b＋b2≤25，
由题意得8＋2(－10＋2k)＋25＋k2≤25，
即k2＋4k－12≤0，(k＋6)(k－2)≤0，求得－6≤k≤2.故选C.
3．函数f(x)＝|sinx＋cosx|的最小正周期是( )
A.
B.
C．π
D．2π
[答案] C
[解析] 由f(x)＝|sinx＋cosx|＝，而y＝sin(x＋)的周期为2π，所以函数f(x)的周期为π，故选C.
[点评] 本题容易错选D，其原因在于没有注意到加了绝对值会对其周期产生影响．
4．|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
[答案] C
[解析] ∵c⊥a，∴a·c＝0，∴a·(a＋b)＝0，
即a·b＝－|a|2，设a与b的夹角为θ，
∴cosθ＝＝＝－，
∴θ＝120°.
5．函数y＝tan的单调增区间是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
[答案] A
[解析] ∵kπ－<2x－0，∴m<.
又a与b夹角为0°时，m＝－2，∴m≠－2.
[点评] 两个向量夹角为锐角则数量积为正值，夹角为钝角则数量积为负值，是常用的结论．
11．已知函数F(x)＝sinx＋f(x)在上单调递增，则f(x)可以是( )
A．1
B．cosx
C．sinx
D．－cosx
[答案] D
[解析] 当f(x)＝1时，F(x)＝sinx＋1；当f(x)＝sinx时，F(x)＝2sinx.此两种情形下F(x)的一个增区间是，在上不单调；对B选项，当f(x)＝cosx时，F(x)＝sinx＋cosx＝sin的一个增区间是，在上不单调；D选项是正确的．
12．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．正三角形
[答案] B
[解析] ∵C＝π－(A＋B)，∴sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sin(A＋B)．∴sinAcosB－cosAsinB＝0.∴sin(A－B)＝0.∴A－B＝kπ(k∈Z)．又A、B为三角形的内角，∴A－B＝0.∴A＝B.则三角形为等腰三角形．
[点评] 解三角形的题目注意应用诱导公式及三角形内角和为π的条件．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．函数y＝cos2x＋sinxcosx的最小正周期T＝________.
[答案] π
[解析] y＝cos2x＋sinxcosx＝cos2x＋sin2x
＝sin(2x＋φ)，
∴函数f(x)的周期T＝＝π.
14．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.
[答案] 1
[解析] ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，
∴cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，
∵α、β为锐角，∴cosα≠0，cosβ≠0，
上式两边同除以cosαcosβ得
1－tanαtanβ＝tanα－tanβ，
即tanα－tanβ＋tanαtanβ－1＝0，
∴(1＋tanβ)(tanα－1)＝0，
∵β为锐角，∴tanβ＞0，
∴1＋tanβ≠0，∴tanα－1＝0即tanα＝1.
15．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，＝m(＋＋)，则实数m＝________.
[答案] 1
[解析] 由于本题是填空题，所以可以令三角形ABC为等腰三角形，其中角C＝90°，则两直角边的高的交点为C，即C与H重合．而O为斜边AB的中点，所以与为相反向量，所以有＋＝0，于是＝m，而C与H重合，所以m＝1.
16．函数f(x)＝3sin的图象为C，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①图象C关于直线x＝对称；
②图象C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
④由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
[答案] ①②③
[解析] f＝3sin＝－3，①正确；
f＝3sinπ＝0，②正确；
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z得，
kπ－≤x≤kπ＋，
∴f(x)的增区间为(k∈Z)，
令k＝0得增区间为，③正确；
由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C，④错误．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cos2x)，b＝(1＋sin2x,1)，x∈R，且函数y＝f(x)的图象经过点.
(1)求实数m的值；
(2)求函数f(x)的最小值及此时x值的集合．
[解析] (1)f(x)＝a·b＝m(1＋sin2x)＋cos2x，
由已知f＝m＋cos＝2，得m＝1.
(2)由(1)得f(x)＝1＋sin2x＋cos2x
＝1＋sin，
∴当sin＝－1时，f(x)取得最小值1－，
由sin＝－1得，2x＋＝2kπ－，
即x＝kπ－(k∈Z)
所以f(x)取得最小值时，x值的集合为
x|x＝kπ－，k∈Z.
18．(本题满分12分)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)设α是第四象限的角，且tanα＝－，求f(α)的值．
[解析] (1)由cosx≠0得x≠kπ＋(k∈Z)，
故f(x)的定义域为.
(2)因为tanα＝－，且α是第四象限的角，
所以sinα＝－，cosα＝，
故f(α)＝
＝
＝＝
＝2(cosα－sinα)＝.
19．(本题满分12分)(08·陕西文)已知函数f(x)＝2sincos＋cos.
(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；
(2)令g(x)＝f，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．
[解析] (1)∵f(x)＝sin＋cos
＝2sin，
∴f(x)的最小正周期T＝＝4π.
当sin＝－1时，f(x)取得最小值－2；
当sin＝1时，f(x)取得最大值2.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，
又g(x)＝f，
∴g(x)＝2sin
＝2sin＝2cos.
∵g(－x)＝2cos＝2cos＝g(x)，且定义域为R，∴函数g(x)是偶函数．
20．(本题满分12分)已知sin(45°＋α)sin(45°－α)＝－，0°<α<90°.
(1)求α的值；
(2)求sin(α＋10°)[1－tan(α－10°)]的值．
[解析] (1)∵sin(45°＋α)sin(45°－α)＝sin(45°＋α)cos(45°＋α)
＝sin(90°＋2α)＝cos2α，
∴cos2α＝－.即cos2α＝－.
∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，
∴2α＝120°，α＝60°.
(2)sin(α＋10°)[1－tan(α－10°)]
＝sin70°(1－tan50°)＝sin70°·
＝
＝＝－
＝－＝－＝－1.
21．(本题满分12分)(2010·江西文，19)已知函数f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)sin(x－)．
(1)若tanα＝2，求f(α)；
(2)若x∈[，]，求f(x)的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝·sin2x－2(sinx＋cosx)(sinx－cosx)
＝sin2x＋cosxsinx－sin2x＋cos2x＝sinxcosx＋cos2x
∴f(α)＝
＝＝＝.
(2)由(1)知，f(x)＝cos2x＋sinxcosx
＝＋＝sin(2x＋)＋，
∵≤x≤?≤2x＋≤?－≤sin(2x＋)≤1?0≤f(x)≤，∴f(x)∈[0，]．
22．(本题满分14分)设平面上向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α＜360°)，b＝(－，)．
(1)试证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)当两个向量a＋b与a－b的模相等时，求角α.
[解析] (1)(a＋b)·(a－b)＝(cosα－，sinα＋)·(cosα＋，sinα－)
＝(cosα－)(cosα＋)＋(sinα＋)(sinα－)
＝cos2α－＋sin2α－＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)由|a|＝1，|b|＝1，且|a＋b|＝|a－b|，平方得(a＋b)2＝(a－b)2，整理得2a2－2b2＋4ab＝0①.
∵|a|＝1，|b|＝1，∴①式化简得a·b＝0，
a·b＝(cosα，sinα)·(－，)＝－cosα＋sinα＝0，即cos(60°＋α)＝0.
∵0°≤α＜360°，∴可得α＝30°，或α＝210°.
[点评] (1)问可由|a|＝1，|b|＝1得，(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．
【点此下载】