必修四模块综合素质检测题 本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分150分,时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.已知sinα=-,<α<,则角α等于(  ) A.          B. C. D. [答案] D 2.已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过5,则k的取值范围是(  ) A.[-4,6] B.[-6,4] C.[-6,2] D.[-2,6] [答案] C [解析] 由|a+b|≤5平方得a2+2a·b+b2≤25, 由题意得8+2(-10+2k)+25+k2≤25, 即k2+4k-12≤0,(k+6)(k-2)≤0,求得-6≤k≤2.故选C. 3.函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是(  ) A. B. C.π D.2π [答案] C [解析] 由f(x)=|sinx+cosx|=,而y=sin(x+)的周期为2π,所以函数f(x)的周期为π,故选C. [点评] 本题容易错选D,其原因在于没有注意到加了绝对值会对其周期产生影响. 4.|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为(  ) A.30°     B.60°     C.120°    D.150° [答案] C [解析] ∵c⊥a,∴a·c=0,∴a·(a+b)=0, 即a·b=-|a|2,设a与b的夹角为θ, ∴cosθ===-, ∴θ=120°. 5.函数y=tan的单调增区间是(  ) A.,k∈Z B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z [答案] A [解析] ∵kπ-<2x-0,∴m<. 又a与b夹角为0°时,m=-2,∴m≠-2. [点评] 两个向量夹角为锐角则数量积为正值,夹角为钝角则数量积为负值,是常用的结论. 11.已知函数F(x)=sinx+f(x)在上单调递增,则f(x)可以是(  ) A.1 B.cosx C.sinx D.-cosx [答案] D [解析] 当f(x)=1时,F(x)=sinx+1;当f(x)=sinx时,F(x)=2sinx.此两种情形下F(x)的一个增区间是,在上不单调;对B选项,当f(x)=cosx时,F(x)=sinx+cosx=sin的一个增区间是,在上不单调;D选项是正确的. 12.在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是(  ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 [答案] B [解析] ∵C=π-(A+B),∴sinC=sin(A+B),∴2sinAcosB=sin(A+B).∴sinAcosB-cosAsinB=0.∴sin(A-B)=0.∴A-B=kπ(k∈Z).又A、B为三角形的内角,∴A-B=0.∴A=B.则三角形为等腰三角形. [点评] 解三角形的题目注意应用诱导公式及三角形内角和为π的条件. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上) 13.函数y=cos2x+sinxcosx的最小正周期T=________. [答案] π [解析] y=cos2x+sinxcosx=cos2x+sin2x =sin(2x+φ), ∴函数f(x)的周期T==π. 14.已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tanα=________. [答案] 1 [解析] ∵cos(α+β)=sin(α-β), ∴cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ, ∵α、β为锐角,∴cosα≠0,cosβ≠0, 上式两边同除以cosαcosβ得 1-tanαtanβ=tanα-tanβ, 即tanα-tanβ+tanαtanβ-1=0, ∴(1+tanβ)(tanα-1)=0, ∵β为锐角,∴tanβ>0, ∴1+tanβ≠0,∴tanα-1=0即tanα=1. 15.△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,=m(++),则实数m=________. [答案] 1 [解析] 由于本题是填空题,所以可以令三角形ABC为等腰三角形,其中角C=90°,则两直角边的高的交点为C,即C与H重合.而O为斜边AB的中点,所以与为相反向量,所以有+=0,于是=m,而C与H重合,所以m=1. 16.函数f(x)=3sin的图象为C,如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号). ①图象C关于直线x=对称; ②图象C关于点对称; ③函数f(x)在区间内是增函数; ④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C. [答案] ①②③ [解析] f=3sin=-3,①正确; f=3sinπ=0,②正确; 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z得, kπ-≤x≤kπ+, ∴f(x)的增区间为(k∈Z), 令k=0得增区间为,③正确; 由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C,④错误. 三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分12分)设函数f(x)=a·b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点. (1)求实数m的值; (2)求函数f(x)的最小值及此时x值的集合. [解析] (1)f(x)=a·b=m(1+sin2x)+cos2x, 由已知f=m+cos=2,得m=1. (2)由(1)得f(x)=1+sin2x+cos2x =1+sin, ∴当sin=-1时,f(x)取得最小值1-, 由sin=-1得,2x+=2kπ-, 即x=kπ-(k∈Z) 所以f(x)取得最小值时,x值的集合为 x|x=kπ-,k∈Z. 18.(本题满分12分)已知函数f(x)=. (1)求f(x)的定义域; (2)设α是第四象限的角,且tanα=-,求f(α)的值. [解析] (1)由cosx≠0得x≠kπ+(k∈Z), 故f(x)的定义域为. (2)因为tanα=-,且α是第四象限的角, 所以sinα=-,cosα=, 故f(α)= = == =2(cosα-sinα)=. 19.(本题满分12分)(08·陕西文)已知函数f(x)=2sincos+cos. (1)求函数f(x)的最小正周期及最值; (2)令g(x)=f,判断函数g(x)的奇偶性,并说明理由. [解析] (1)∵f(x)=sin+cos =2sin, ∴f(x)的最小正周期T==4π. 当sin=-1时,f(x)取得最小值-2; 当sin=1时,f(x)取得最大值2. (2)由(1)知f(x)=2sin, 又g(x)=f, ∴g(x)=2sin =2sin=2cos. ∵g(-x)=2cos=2cos=g(x),且定义域为R,∴函数g(x)是偶函数. 20.(本题满分12分)已知sin(45°+α)sin(45°-α)=-,0°<α<90°. (1)求α的值; (2)求sin(α+10°)[1-tan(α-10°)]的值. [解析] (1)∵sin(45°+α)sin(45°-α)=sin(45°+α)cos(45°+α) =sin(90°+2α)=cos2α, ∴cos2α=-.即cos2α=-. ∵0°<α<90°,∴0°<2α<180°, ∴2α=120°,α=60°. (2)sin(α+10°)[1-tan(α-10°)] =sin70°(1-tan50°)=sin70°· = ==- =-=-=-1. 21.(本题满分12分)(2010·江西文,19)已知函数f(x)=(1+)sin2x-2sin(x+)sin(x-). (1)若tanα=2,求f(α); (2)若x∈[,],求f(x)的取值范围. [解析] (1)f(x)=·sin2x-2(sinx+cosx)(sinx-cosx) =sin2x+cosxsinx-sin2x+cos2x=sinxcosx+cos2x ∴f(α)= ===. (2)由(1)知,f(x)=cos2x+sinxcosx =+=sin(2x+)+, ∵≤x≤?≤2x+≤?-≤sin(2x+)≤1?0≤f(x)≤,∴f(x)∈[0,]. 22.(本题满分14分)设平面上向量a=(cosα,sinα)(0°≤α<360°),b=(-,). (1)试证:向量a+b与a-b垂直; (2)当两个向量a+b与a-b的模相等时,求角α. [解析] (1)(a+b)·(a-b)=(cosα-,sinα+)·(cosα+,sinα-) =(cosα-)(cosα+)+(sinα+)(sinα-) =cos2α-+sin2α-=0, ∴(a+b)⊥(a-b). (2)由|a|=1,|b|=1,且|a+b|=|a-b|,平方得(a+b)2=(a-b)2,整理得2a2-2b2+4ab=0①. ∵|a|=1,|b|=1,∴①式化简得a·b=0, a·b=(cosα,sinα)·(-,)=-cosα+sinα=0,即cos(60°+α)=0. ∵0°≤α<360°,∴可得α=30°,或α=210°. [点评] (1)问可由|a|=1,|b|=1得,(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,∴(a+b)⊥(a-b).

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