必修一综合素质检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
1．(09·宁夏 海南理)已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩?NB＝( )
A．{1,5,7} B．{3,5,7}
C．{1,3,9} D．{1,2,3}
[答案] A
[解析] A∩?NB＝{1,3,5,7,9}∩{1,2,4,5,7,8,10,11,13,14，…}＝{1,5,7}．
2．方程log3x＋x＝3的解所在区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3，＋∞)
[答案] C
[解析] 令f(x)＝log3x＋x－3，
∵f(2)·f(3)<0，∴f(x)的零点在(2,3)内，∴选C.
3．(08·全国Ⅰ)(1)函数y＝＋的定义域为( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
[答案] C
[解析] 要使y＝＋有意义，则，
∴，∴x≥1或x＝0，
∴定义域为{x|x≥1}∪{0}．
4．(09·辽宁文)已知函数f(x)满足：x≥4，f(x)＝x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝( )
A. B.
C. D.
[答案] A
5．(08·江西)若0logy3，∴B错．
③由y＝log4u为增函数知log4xy，排除D.
6．已知方程|x|－ax－1＝0仅有一个负根，则a的取值范围是( )
A．a<1 B．a≤1
C．a>1 D．a≥1
[答案] D
[解析] 数形结合判断．
7．已知a>0且a≠1，则两函数f(x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是( )
[答案] C
[解析] g(x)＝loga＝－loga(－x)，
其图象只能在y轴左侧，排除A、B；
由C、D知，g(x)为增函数，∴a>1，
∴y＝ax为增函数，排除D.∴选C.
8．下列各函数中，哪一个与y＝x为同一函数( )
A．y＝ B．y＝()2
C．y＝log33x D．y＝2log2x
[答案] C
[解析] A∶y＝x(x≠0)，定义域不同；
B∶y＝x(x≥0)，定义域不同；
D∶y＝x(x＞0)定义域不同，故选C.
9．(上海大学附中2009～2010高一期末)下图为两幂函数y＝xα和y＝xβ的图像，其中α，β∈{－，，2,3}，则不可能的是( )
[答案] B
[解析] 图A是y＝x2与y＝x；图C是y＝x3与y＝x－；图D是y＝x2与y＝x－，故选B.
10．(2010·天津理，8)设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
[答案] C
[解析] 解法1：由图象变换知函数f(x)图象如图，且f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，∴f(a)>f(－a)化为f(a)>0，∴当x∈(－1,0)∪(1，＋∞)，f(a)>f(－a)，故选C.
解法2：当a>0时，由f(a)>f(－a)得，log2a>loga，∴a>1；当a<0时，由f(a)>f(－a)得，log(－a)>log2(－a)，∴－1f(x)得：2(25＋10x)>100(1＋5%)x，将已知条件代入验证知x＝4，所以在2012年时满足题意．
12．(2010·山东理，4)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．3 B．1
C．－1 D．－3
[答案] D
[解析] ∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即0＝20＋b，∴b＝－1，
故f(1)＝2＋2－1＝3，∴f(－1)＝－f(1)＝－3.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．化简：(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝________.
[答案] 1
[解析] (lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2＋lg5＝1.
14．(09·重庆理)若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝________.
[答案]
[解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，
即＋a＝－－a，∴a＝.
15．已知集合A＝{x|x2－9x＋14＝0}，B＝{x|ax＋2＝0}若B A，则实数a的取值集合为________．
[答案] {0，－1，－}
[解析] A＝{2,7}，当a＝0时，B＝?
满足B A；当a≠0时，B＝{－}
由B A知，－＝2或7，∴a＝－1或－
综上可知a的取值集合为{0，－1，－}．
16．已知x>x，则x的范围为________．
[答案] (－∞，0)∪(1，＋∞)
[解析] 解法1：y＝x和y＝x定义域都是R，y＝x过一、二象限，y＝x过一、三象限，
∴当x∈(－∞，0)时x>x恒成立
x＝0时，显然不成立．
当x∈(0，＋∞)时，x>0，x>0，
∴＝x>1，∴x>1，即x>1时x>x
∴x的取值范围为(－∞，0)∪(1，＋∞)．
解法2：x<0时，x>0>x成立；
x>0时，将x看作指数函数的底数
∵>且x>x，∴x>1.
∴x的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．
[点评] 变量与常量相互转化思想的应用．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)用单调性定义证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上是增函数．
[解析] 证明：设x1>x2>－1，则
f(x1)－f(x2)＝－＝>0
∴f(x1)>f(x2)
∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．
18．(本题满分12分)已知全集R，集合A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(?RA)∩B＝{2}，求p＋q的值．
[解析] ∵(?RA)∩B＝{2}，∴2∈B，
由B＝{x|x2－5x＋q＝0}有4－10＋q＝0，∴q＝6，
此时B＝{x|x2－5x＋6}＝{2,3}
假设?RA中有3，则(?RA)∩B＝{2,3}与(?RA)∩B＝{2}矛盾，
∵3∈R又3?(?RA)，
∴3∈A，由A＝{x|x2＋px＋12＝0}有9＋3p＋12＝0，
∴p＝－7.∴p＋q＝－1.
19．(本题满分12分)设f(x)＝，若0＜a＜1，试求：
(1)f(a)＋f(1－a)的值；
(2)f()＋f()＋f()＋…＋f()的值．
[解析] (1)f(a)＋f(1－a)＝＋
＝＋＝＝1
∴f()＋f()＝f()＋f()
＝…＝f()＋f()＝1.∴原式＝500.
20．(本题满分12分)若关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有两个不相等的实根，求分别满足下列条件的a的取值范围．
(1)方程两根都小于1；
(2)方程一根大于2，另一根小于2.
[解析]设f(x)＝x2＋2ax＋2－a
(1)∵两根都小于1，
∴，解得a>1.
(2)∵方程一根大于2，一根小于2，
∴f(2)<0 ∴a<－2.
21．(本题满分12分)已知函数f(x)＝loga(a－ax)(a＞1)．
(1)求函数的定义域和值域；
(2)讨论f(x)在其定义域内的单调性；
(3)求证函数的图象关于直线y＝x对称．
[解析] (1)解：由a－ax＞0得，ax＜a，∵a＞1，
∴x＜1，∴函数的定义域为(－∞，1)
∵ax＞0且a－ax＞0.
∴0＜a－ax＜a.
∴loga(a－ax)∈(－∞，1)，即函数的值域为(－∞，1)．
(2)解：u＝a－ax在(－∞，1)上递减，
∴y＝loga(a－ax)在(－∞，1)上递减．
(3)证明：令f(x)＝y，则y＝loga(a－ax)，
∴ay＝a－ax，
∴ax＝a－ay，∴x＝loga(a－ay)，
即反函数为y＝loga(a－ax)，
∴f(x)＝loga(a－ax)的图象关于直线y＝x对称．
[点评] (1)本题给出了条件a＞1，若把这个条件改为a＞0且a≠1，就应分a＞1与0＜a＜1进行讨论．请自己在0＜a＜1的条件下再解答(1)(2)问．
(2)第(3)问可在函数f(x)的图象上任取一点，P(x0，y0)，证明它关于直线y＝x的对称点(y0，x0)也在函数的图象上．
∵y0＝loga(a－ax0)
∴ay0＝a－ax0即a－ay0＝ax0
∴f(y0)＝loga(a－ay0)＝logaax0＝x0
∴点(y0，x0)也在函数y＝f(x)的图象上．
∴函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．
22．(本题满分14分)已知函数f(x)＝的定义域为[－，]，(a≠0)
(1)判断f(x)的奇偶性．
(2)讨论f(x)的单调性．
(3)求f(x)的最大值．
[解析] (1)∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)设－≤x1＜x2≤，
f(x1)－f(x2)＝－
＝
若a＞0，则由于x－1＜0，x－1＜0，x2－x1＞0，
x1x2＋1＞0.
∴f(x1)－f(x2)＞0
∴f(x1)＞f(x2)即f(x)在[－，]上是减函数
若a＜0，同理可得，f(x)在[－，]上是增函数．
(3)当a＞0时，由(2)知f(x)的最大值为
f(－)＝a.
当a＜0时，由(2)知f(x)的最大值为f()＝－a.
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