第四节 函数y=Asin(?x+?)的图象及三角函数模型的简单应用
1. 函数y=cos x(x∈R)的图象向左平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)的解析式为( )
A. y=-sin x B. y=sin x
C. y=-cos x D.y=cos x
2. 已知f(x)=sin x+cos x(x∈R),函数y=f(x+?)的图象关于直线x=0对称,则?的值可以是( )
A. B.
C. D.
3. 如图为f(x)=Asin(?x+?)(A>0,?>0,|?|)的图象的一段,则其解析式为( )
A. y=sin B. y=sin
C. y=sin D. y=sin
4. 在同一平面直角坐标系中,函数y=cos(x∈[0,2?])的图象和直线y=的交点个数是( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 4
5. 关于函数y=sin 2x-cos 2x图象的对称性,下列说法正确的是( )
A. 关于直线x=对称 B. 关于直线x=对称
C. 关于点对称 D. 关于点对称
6. (2010?天津)如图是函数y=Asin(?x+?)(x∈R)在区间上的图象,为了得到这个函数的图象,只要将y=sin x(x∈R)图象上的所有点( )
A. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
B. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
C. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
D. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
7. (2010?辽宁改编)设?>0,函数y=sin+2的图象向右平移个单位后与原图象重合,则?的最小值是________.
8. (2011?济南模拟)把函数y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数解析式为__________________.
9. 如图所示为函数y=Asin(?x+?)的图象上的一段,则这个函数的解析式为________.
10. (2010?广东)已知函数f(x)=Asin(3x+?)(A>0,x∈(-∞,+∞),0)在x=时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的解析式;
(3)若f =,求sin ?.
11. (2011?重庆南开中学月考)已知函数f(x)=Asin(?x+?)
的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最高点M.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调区间.
答案:
6. A 解析:观察图象可知,函数y=Asin(?x+?)中A=1,=?,故?=2,由??+?=0,得?=,所以函数y=sin,故只要把y=sin x的图象向左平移个单位,再把各点的横坐标缩短到原来的倍即可.
7. 解析:由题意知T=≤?,
∴?≥.
8. y=sin 解析:把函数y=sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,得y=sin,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得y=sin.
9. y=2sin 解析:由图象知,A=2,=-=,即T=.
∵=?,∴?=,∴y=2sin.
∵当x=?时,y=2,
∴2=2sin,
即sin=1,
∴?+?=,?=-,
∴y=2sin.
10. (1)T=.
(2)由f(x)的最大值是4知,A=4,
f(x)max=f=4sin=4,即sin=1,
∵0,∴<+?<.
∴+?=,∴?=.
∴f(x)=4sin.
(3)f=4sin[3+]=,即sin=,
sin=,即cos 2?=,
∴1-2sin2?=,sin2?=,∴sin ?=?.
11. (1)由题意得f(x)的最小正周期T=?2=?,∴?===2.
又由M是最高点,得A=2,
且当?=时,f(x)有最大值.
∴sin=sin=1,∴+?=+2k?,k∈Z,
即?=+2k?,k∈Z. 又∵0<?<,∴?=.
∴f(x)=2sin.
(2)令-+2k?≤2x+≤+2k?,k∈Z,得k?-≤x≤k?+,k∈Z;
令+2k?≤2x+≤?+2k?,k∈Z,得k?+≤x≤k?+?,k∈Z.
∴f(x)在,k∈Z上单调递增;在,k∈Z上单调递减.
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