第五节 数列的综合应用
1. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使最大的三份之和的是较少的两份之和，则最小的一份的量为( )
A. B. C. D.
2. 某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个又死去1个，3小时后分裂成10个又死去1个，…，按这种规律进行下去，6小时后细胞的存活数为( )
A. 33个 B. 65个 C. 66个 D. 129个
3. 小正方形按照如图的规律排列：
每个图中的小正方形的个数就构成一个数列{an}，有以下结论：
①a5＝15；
②数列{an}是一个等差数列；
③数列{an}是一个等比数列；
④数列的递推公式为：an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)．
其中正确的命题序号为( )
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①
4. (2011·黄冈中学月考)在数列{an}中，对任意n∈N*，都有＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断：
①k不可能为0；
②等差数列一定是等差比数列；
③等比数列一定是等差比数列；
④通项公式为an＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)的数列一定是等差比数列．
其中正确的判断为( )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
5. 数列{an}的通项公式an＝，其前n项和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为( )
A. －10 B. －9 C. 10 D. 9
6. (2011·湖南雅礼中学月考)已知x＞1，y＞1，且ln x，，ln y成等比数列，则xy( )
A. 有最大值e B. 有最小值e
C. 有最大值 D. 有最小值
7. 定义运算符号“∏”这个符号表示若干个数相乘．例如：可将1×2×3×…×n，记作(n∈N*)．记作Tn＝i，其中ai为数列{an}(n∈N*)中的第i项．
(1)若an＝2n－1，则T4＝________；
(2)若Tn＝n2(n∈N*)，则an＝________.
8. (教材改编题)某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半加一千元，第二名得剩下的一半加一千元，以名次类推都得到剩下的一半加一千元，到第10名恰好资金分完，求此科研单位共拿出________千元资金进行奖励．
9. 某人按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为{an}，则数到2 011时对应的指头是________，数列{an}的通项公式an＝________.(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指)
10. 某企业投资1 000万元在一个高科技项目，每年可获利25%.由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目资金可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？(取lg 2≈0.3)
答案：
7. (1)105 (2) 解析：T4＝a1×a2×a3×a4＝105，an＝
8. 2 046 解析：设单位共拿出x千元资金，第1名到第10名所得资金构成数列{an}，前n项和为Sn，则a1＝＋1，an＝(x－Sn－1)＋1(n≥2)，∴2an＝x－Sn－1＋2,2an＋1＝x－Sn＋2，两式相减得2an＋1－2an＝－an，
∴2an＋1＝an.∴{an}是首项为＋1，公比为的等比数列，∴S10＝＝x，解得x＝2 046.
故单位共拿出2 046千元资金进行奖励．
9. 中指 4n－1 解析：对应中指的数列：3,7,11,15,19，…，其通项公式an＝4n－1.而2 011＝4×503－1，故2 011对应中指．
10. 设该企业逐年的项目资金数依次为a1，a2，a3，…，an，则由已知an＋1＝an(1＋25%)－200(n∈N*)，即an＋1＝an－200，
令an＋1－x＝(an－x)，即an＋1＝an－x，由＝200，得x＝800，
∴an＋1－800＝(an－800)(n∈N*)，
故{an－800}是以a1－800为首项，为公比的等比数列．
∵a1＝1 000(1＋25%)－200＝1 050，
∴a1－800＝250，
∴an－800＝250n－1，
∴an＝800＋250n－1(n∈N*)．
由题意an≥4 000，∴800＋250n－1≥4 000，即n≥16，
∴nlg ≥lg 16，即n(1－3lg 2)≥4lg 2，
∵lg 2≈0.3，∴0.1n≥1.2，故n≥12.
∴经过12年后，该项目资金可以达到或超过翻两番的目标．
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