第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
1. (2011·北京模拟)若a，b是空间两条不同的直线，α、β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分条件是 ( )
A. a∥β，α⊥β B. a?β，α⊥β
C. a⊥b，b∥α D. a⊥β，α∥β
2. 用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b； ④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是 ( )
A. ①② B. ②③
C. ①④ D. ③④
3. 空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是 ( )
A. 面ABD⊥面BDC B. 面ABC⊥面ABD
C. 面ABC⊥面ADC D. 面ABC⊥面BED
4. (2011·烟台模拟)如图在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在 ( )
A. 直线AB上
B. 直线BC上
C. 直线AC上
D. △ABC内部
5. (2011·威海模拟)已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β且α⊥γ?β⊥γ”是真命题，若把α、β、γ中的任意两个换成直线，且相互不重合，则在所得到的命题中，真命题有 ( )
A. 3个 B. 2个
C. 1个 D. 0个
6. (2011·淄博模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为 ( )
7. (教材改编题)过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连结PA、PB、PC，若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________(填“重心”、“外心”或“垂心”)．
8. 如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，那么以P、A、B、C、D五个点中的三点为顶点的直角三角形有________个．
9. P为△ABC所在平面外一点，AC＝a，连接PA、PB、PC，得△PAB和△PBC都是边长为a的等边三角形，则平面ABC和平面PAC的位置关系为________．
10. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________.
11. (2010·辽宁改编)如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形， B1C⊥A1B.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
12. (2010·安徽改编)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．
(1)求证：FH∥平面EDB；
(2)求证：AC⊥平面EDB.
参考答案
8. 9 解析：分三类：
(1)在底面ABCD中，共有四个直角，因而有四个直角三角形；
(2)四个侧面都是直角三角形；
(3)过两条侧棱的截面中，△PAC为直角三角形．故共有9个直角三角形．
9. 垂直
解析：如图所示，由题意知PA=PB=PC=AB=BC=a，取AC中点D，连接PD、BD，则PD⊥AC，BD⊥AC，则∠BDP为二面角P-AC-B的平面角，
又∵AC=a，
∴PD=BD=a，
在△PBD中，PB2=BD2+PD2，
∴∠PDB=90?.
10. 2 解析：如图所示，由题意知：在Rt△ABC中，易求得BC=4，AC=4，
连接CM，知PC⊥CM，
所以PM2=PC2+CM2，
当CM⊥AB时，CM的长度最小，最小值为==2.
所以PM的最小值为=2.
11. 因为侧面BCC1B1是菱形，
所以B1C⊥BC1，
又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，
所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C?平面AB1C，
所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
12. (1)证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连接EG，GH，由于H为BC的中点，故GH綊AB，
又EF綊AB，
∴四边形EFHG为平行四边形，
∴EG∥FH，而EG?平面EDB，
∴FH∥平面EDB.
(2)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB⊥BC，
又EF∥AB，∴EF⊥BC.
而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH.
又BF=FC，H为BC的中点，
∴FH⊥BC，又FH⊥AB，
∴FH⊥平面ABCD.
∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.
又AC⊥BD，EG∩BD=G，
∴AC⊥平面EDB.
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