第六节 双曲线
1. 双曲线－＝1的焦距是10，则实数m的值为 ( )
A. －1 B. 4 C. 16 D. 81
2. (2011·山东淄博高三模拟)设θ是三角形的一个内角，且sin θ＋cos θ＝，则方程＋＝1所表示的曲线为 ( )
A. 焦点在x轴上的椭圆
B. 焦点在y轴上的椭圆
C. 焦点在x轴上的双曲线
D. 焦点在y轴上的双曲线
3. 双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为 ( )
A. 1 B. 2 C. D. 2
4. (2011·广东湛江模拟)设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点. 若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝ ( )
A. B. 2 C. D. 2
5. (改编题)设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则∠F1PF2为 ( )
A. B. C. D.
6. (2011·山东烟台模拟)设双曲线－＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( )
A. B. 5 C. D.
7. 已知定点A、B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是________．
8. (2011·安徽黄山模拟)以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的半径为________．
9. (2010·北京)已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________，渐近线方程为________．
10. (2011·浙江宁波模拟)如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.
11. 已知双曲线C：－y2＝1，P为C上的任意点．
(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．
考点演练
7. 解析：因为|AB|=4，|PA|-|PB|=3，故满足条件的点在双曲线右支上，则|PA|的最小值为右顶点到A的距离a+c=2+=.
8. 4 解析：右焦点即圆心为(5,0)，一条渐近线方程为y=x，即4x-3y=0，r==4.
9. (?4,0) x?y=0 解析：椭圆+=1的焦点坐标为(?4,0)，所以双曲线-=1的焦点坐标为(?4,0)，c=4.又e==2，所以a=2，b=2，渐近线方程为x?y=0.
10. 解析：根据题意，双曲线中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，此类双曲线是“黄金双曲线”．则|FA|2=|BF|2+|BA|2，又|FA|2=(c+a)2，|BF|2=b2+c2，|BA|2=a2+b2，所以(c+a)2=b2+c2+a2+b2，又b2=c2-a2，所以c2-ac-a2=0，所以c= a(负值舍去)，所以“黄金双曲线”的离心率e等于.
11. (1)证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，
该双曲的两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0.
所以点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和，
它们的乘积是?==.
所以点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．
(2)设点P的坐标为(x，y)，则
|PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+-1
=2+.
因为|x|≥2,
所以当x=时，|PA|2有最小值为，
即|PA|的最小值为.
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