第七节 抛物线
1. (2011·皖南八校联考)若动点P到定点F(1，－1)的距离与到直线l：x－1＝0的距离相等，则动点P的轨迹是 ( )
A. 直线 B. 椭圆
C. 双曲线 D．抛物线
2. (2010·陕西)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A. B. 1 C. 2 D. 4
3. 设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上的三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝ ( )
A. 9 B. 6 C. 4 D. 3
4. (2011·山东青岛模拟)直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为( )
A. 48 B. 56 C. 64 D. 72
5. 抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是( )
A. B. C. D. 3
6. (2011·安徽蚌埠市第五中学模拟)已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是( )
A. x2＝2y－1 B. x2＝2y－
C. x2＝y－ D. x2＝2y－2
7. (2011·苏北四市联考)若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的标准方程是________．
8. (2010·重庆)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、 B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
9. 已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是________米．
10. 设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则||为________.
11. 设抛物线y2＝4x被直线y＝2x＋k截得的弦长为3.
(1)求k的值；
(2)以此弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当此三角形的面积为9时，求P点坐标．
12. (2011·泉州模拟)如图，P为抛物线y＝x2上的一点，抛物线的焦点为F，PC垂直于直线y＝－，垂足为C，已知直线AB垂直PF分别交x、y轴于A、B.
(1)求使△PCF为等边三角形的点P的坐标；
(2)是否存在点P，使P平分线段AB，若存在求出点P，若不存在说明理由．
考点演练
6. A 解析：抛物线x2=4y的焦点F(0,1)，设P(x0，y0)，线段PF中点为(x，y)，则x0=2x，y0+1=2y，即x0=2x，y0=2y-1，
而x02=4y0，得(2x)2=4(2y-1)，
即x2=2y-1.
7. y2=8x 解析：因为p=4，所以抛物线标准方程为y2=8x.
8. 2 解析：由抛物线方程知抛物线的通径为2p=4，且|AF|=2，恰好为通径的，因此|BF|也应该为通径的，即|BF|=2.
9. 4 解析：以顶点为原点，以过顶点向下的直线为y轴建立直角坐标系，则 x2=-2py(p>0)，将点(4，-2)代入抛物线方程得16=4p，即p=4，所以抛物线方程为x2=-8y，当y=-1.5时，x=?2，所以水面的宽度为4米．
10. p 解析：过A作AD⊥x轴于D，令FD=m，则FA=2m，++m=2m，
故m=p，
所以A，
故OA==p.
11. (1)由可得4x2+(4k-4)x+k2=0.
设抛物线与直线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由
∴|AB|===3，所以k=-4，此时?＞0符合题意．
(2)∵S=9且底边长为3，
∴三角形高h=.
∵P点在x轴上，∴可设P点坐标是(x0,0)，
则点P到直线y=2x-4的距离就等于h，即=，
∴x0=-1或x0=5，
∴P点坐标为(-1,0)或(5,0)．
12. (1)设P为(m，n)，则C为，
由PC垂直于直线y=-得|PC|=+n，
因为y=x2的焦点为，y=-是其准线．
而点P在抛物线上，所以|PC|=|PF|，
由|CF|=，且△PCF为等边三角形，
所以n+=.①
因为点P在抛物线上，故n=m2，②
①②联立解得m=? ，
所以点P的坐标为(?，)．
(2)假设存在点P使|PA|=|PB|，
于是A为(2m,0)，B为(0,2n)，
由PF⊥AB知三角形ABF是等腰三角形，
所以|AF|=|BF|，
即=.③
因为点P在抛物线上，故n=m2.④
由③④解得，m=?，n=，
所以存在满足条件的点P.
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