第三章综合检测题
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知0＜α＜＜β＜π，又sinα＝，cos(α＋β)＝－，则sinβ＝( )
A．0
B．0或
C.
D．±
[答案] C
[解析] ∵0＜α＜＜β＜π且sinα＝，cos(α＋β)＝－，
∴cosα＝，＜α＋β＜π，∴sin(α＋β)＝±，
当sin(α＋β)＝时，sinβ＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝×－×＝；
当sin(α＋β)＝－时，
sinβ＝－×－×＝0.
又β∈，∴sinβ＞0，故sinβ＝.
[点评] (1)可用排除法求解，∵＜β＜π，∴sinβ＞0.故排除A，B，D.
(2)由cos(α＋β)＝－及sinα＝可得sinβ＝(1＋cosβ)代入sin2β＋cos2β＝1中可解得cosβ＝－1或－，再结合<β<π可求sinβ.
2．若sinθ＜0，cos2θ＜0，则在(0,2π)内θ的取值范围是( )
A．π＜θ＜
B.＜θ＜
C.＜θ＜2π
D.＜θ＜
[答案] B
[解析] ∵cos2θ＜0，∴1－2sin2θ＜0，即sinθ＞或sinθ＜－，
又已知sinθ＜0，∴－1≤sinθ＜－，
由正弦曲线得满足条件的θ取值为＜θ＜.
3．函数y＝sin2x＋cos2x的图象，可由函数y＝sin2x－cos2x的图象( )
A．向左平移个单位得到
B．向右平移个单位得到
C．向左平移个单位得到
D．向右平移个单位得到
[答案] C
[解析] y＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)
＝sin2(x＋)
y＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)＝sin2(x－)
其中x＋＝(x＋)－
∴将y＝sin2x－cos2x的图象向左平移个单位可得y＝sin2x＋cos2x的图象．
4．下列各式中，值为的是( )
A．2sin15°cos15°
B．cos215°－sin215°
C．2sin215°－1
D．sin215°＋cos215°
[答案] B
[解析] 2sin15°cos15°＝sin30°＝，排除A.
cos215°－sin215°＝cos30°＝，故选B.
5．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值是( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°
＝1＋sin30°＝1＋×＝.
6．若f(x)＝2tanx－，则f的值是( )
A．－
B．－4
C．4
D．8
[答案] D
[解析] f(x)＝2tanx＋＝2
＝2·＝，∴f()＝＝8.
7．若－≤x≤，则函数f(x)＝sinx＋cosx的最大值和最小值分别是( )
A．1，－1
B．1，－
C．2，－1
D．2，－2
[答案] C
[解析] ∵x∈，∴x＋∈，
∵f(x)＝sinx＋cosx＝2sin，
∴f(x)最小值为－1，最大值为2.
8．设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a为实常数)在区间上的最小值为－4，那么a的值等于( )
A．4
B．－6
C．－3
D．－4
[答案] D
[解析] f(x)＝cos2x＋sin2x＋1＋a
＝2sin＋a＋1
∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴f(x)min＝2×＋a＋1＝－4，∴a＝－4.
9．(09·重庆理)设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] ∵m·n＝sinAcosB＋sinB·cosA
＝sin(A＋B)＝sinC＝1－cosC，
∴sin＝，
又∵00)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为.
(1)求m和a的值；
(2)若点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈，求点A的坐标．
[解析] (1)f(x)＝sin2ax－sinaxcosax
＝－sin2ax＝－sin＋，
由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，
所以m＝－或m＝，
由题设知，函数f(x)的周期为，∴a＝2，
所以m＝－或m＝，a＝2.
(2)∵f(x)＝－sin＋，
∴令sin＝0，得4x＋＝kπ(k∈Z)，
∴x＝－(k∈Z)，
由0≤－≤ (k∈Z)，得k＝1或k＝2，
因此点A的坐标为或.
19．(本题满分12分)函数f(x)＝2asin2x－2asinxcosx＋a＋b，x∈，值域为[－5,1]，求a，b的值．
[解析] ∵f(x)＝a(1－cos2x)－asin2x＋a＋b
＝－2a·＋2a＋b
＝－2asin＋2a＋b，
∵0≤x≤，∴0≤2x≤π，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
当a＞0时，有，∴a＝2，b＝－5，
当a＜0时，有，∴a＝－2，b＝1.
20．(本题满分12分)已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小．
[解析] 方法一：由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0.
所以sinAsinB＋sinAcosB－sinAcosB－cosAsinB＝0，
即sinB(sinA－cosA)＝0.
因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，从而cosA＝sinA.
由A∈(0，π)知，A＝，从而B＋C＝，由sinB＋cos2C＝0得sinB＋cos2(－B)＝0，
即sinB－sin2B＝0.即sinB－2sinBcosB＝0.
由此得cosB＝，B＝.所以A＝，B＝，C＝.
方法二：由sinB＋cos2C＝0得
sinB＝－cos2C＝sin.
因为0
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