抛物线 同步测试
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．抛物线的焦点坐标是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为 （ ）
A． B． C． D．
3．抛物线截直线所得弦长等于 （ ）
A． B． C． D．15
4．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ ）
A．或 B．或
C． D．
5．点到曲线（其中参数）上的点的最短距离为 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
6．抛物线上有三点，是它的焦点，若 成等差数列，则 （ ）
A．成等差数列 B．成等差数列
C．成等差数列 D．成等差数列
7．若点A的坐标为（3，2），为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则 取得最小值时点的坐标是 （ ）
A．（0，0） B．（1，1） C．（2，2） D．
8．已知抛物线的焦点弦的两端点为,,则关系式
的值一定等于 （ ）
A．4p B．－4p C．p2 D．－p
9．过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是，则 （ ）
A． B． C． D．
10．若AB为抛物线y2=2px (p>0)的动弦，且|AB|=a (a>2p)，则AB的中点M到y轴的最近距离是 （ ）
A．a B．p C．a＋p D．a－p
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．抛物线上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________．
12．已知圆，与抛物线的准线相切，则 ___________．
13．如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数a的取值范围是 ．
14．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；
（1）焦点在y轴上； （2）焦点在x轴上；
（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；
（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．
其中适合抛物线y2=10x的条件是(要求填写合适条件的序号） ______．
三、解答题（本大题共6小题，共76分）
15．已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）求线段BC中点M的坐标；
（3）求BC所在直线的方程.（12分）
16．已知抛物线y=ax2－1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a的取值范围.（12分）
17．抛物线x2=4y的焦点为F，过点(0，－1)作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程.（12分）
18．已知抛物线C：，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．
（1）若C在点M的法线的斜率为，求点M的坐标（x0，y0）；
（2）设P（－2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.（12分）
19．已知抛物线y2=4ax(0＜a＜1＝的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，｜AF｜为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点．
（1）求｜MF｜+｜NF｜的值；
（2）是否存在这样的a值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列?如存在，求出a的值，若不存在，说明理由.（14分）
20．如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.
（1）求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于线段AB下方
（含A、B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.（14分）
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
B
A
C
B
C
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11． 12． 2 13． 14． （2），（5）
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分）[解析]：（1）由点A（2，8）在抛物线上，有，
解得p=16. 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）.
（2）如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的
定比分点，且，设点M的坐标为，则
，解得，
所以点M的坐标为（11，－4）．
（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在
的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：
由消x得，
所以，由（2）的结论得，解得
因此BC所在直线的方程为：
16．（12分）
[解析]：设在抛物线y=ax2－1上关于直线x+y=0对称的相异两点为P(x,y),Q(－y,－x)，则
，由①－②得x+y=a(x+y)(x－y),∵P、Q为相异两点，∴x+y≠0，又a≠0，
∴，代入②得a2x2－ax－a+1=0，其判别式△=a2－4a2(1－a)＞0，解得．
17．（12分）[解析]：设R(x,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB的中心为，L:y=kx－1,代入抛物线方程得x2－4kx+4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4，且△=16k2－16＞0，即|k|＞1 ①，
，∵C为AB的中点.
∴
，消去k得x2=4(y+3),由① 得，，故动点R的轨迹方程为x2=4(y+3)( )．
18．（14分） [解析]：（1）由题意设过点M的切线方程为：，代入C得，
则，，即M（－1，）．
（2）当a＞0时，假设在C上存在点满足条件．设过Q的切线方程为：，代入
，则，
且．若时，由于，
∴ 或 ；若k=0时，显然也满足要求．
∴有三个点（－2＋，），（－2－，）及（－2，－），
且过这三点的法线过点P（－2，a），其方程分别为：
x＋2y＋2－2a＝0，x－2y＋2＋2a＝0，x＝－2.
当a≤0时，在C上有一个点（－2，－），在这点的法线过点P（－2，a），其方程为：x＝－2.
19．（12分）[解析]：（1）F（a,0）,设，由
，， （2）假设存在a值，使的成等差数列，即
①，∵P是圆A上两点M、N 所在弦的中点，∴
由①得，这是不可能的．
∴假设不成立．即不存在a值，使的成等差数列．
20．（14分）[解析]：【解】(1) 解方程组 得 或
即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由kAB==,直线AB的垂直平分线方程
y－1=(x－2). 令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)．
(2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x2－4).∵点P到直线OQ的距离
d==,,∴SΔOPQ==.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, ∴－4≤x<4－4或4－4
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