抛物线
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为 （ ）
A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）
2．圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）
A．x2+ y 2-x-2 y -=0 B．x2+ y 2+x-2 y +1=0
C．x2+ y 2-x-2 y +1=0 D．x2+ y 2-x-2 y +=0
3．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （ ）
A．（1，1） B．（） C． D．（2，4）
4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（ ）
A．m B． 2m C．4.5m D．9m
5．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）
A． y 2=－2x B． y 2=－4x C．y 2=－8x D．y 2=－16x
6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ）
A． y 2=-2x B． y 2=-4x
C． y 2=2x D． y 2=-4x或y 2=-36x
7．过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= （ ）
A．8 B．10 C．6 D．4
8．把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移，所得的曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有 （ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
10．过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于 （ ）
A．2a B． C．4a D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为 ．
12．抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．
13．P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是 ．
14．抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为
．
三、解答题（本大题共6小题，共76分）
15．已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹方程．(12分)
16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．（12分）
17．动直线y =a，与抛物线相交于A点，动点B的坐标是，求线段AB中点M的轨迹的方程．(12分)
18．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12分)
19．如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(14分)
20．已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交轴于点N，求面积的最大值．(14分)
参考答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
A
B
C
B
A
C
C
C
二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．2 12． 13．（1，0） 14．
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分）[解析]：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为．
16． (12分)[解析]：设抛物线方程为，则焦点F（），由题意可得
，解之得或，
故所求的抛物线方程为，
17．（12分）[解析]：设M的坐标为（x，y），A（，），又B得
消去，得轨迹方程为，即
18．（12分）[解析]：如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为，由题意可知，
B（4，-5）在抛物线上，所以，得，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA’，则A（），由得，又知船面露出水面上部分高为0．75米，所以=2米
19．(14分) [解析]：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．由题意可知：曲线C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点．
设曲线段C的方程为，
其中分别为A、B的横坐标，．
所以，． 由，得
①
②
联立①②解得．将其代入①式并由p>0解得，或．
因为△AMN为锐角三角形，所以，故舍去． ∴p=4，．
由点B在曲线段C上，得．综上得曲线段C的方程为．
20．(14分) [解析]：（Ⅰ）直线的方程为，将，
得 ． 设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，
则 又，
∴ ． ∵， ∴ ． 解得 ．
（Ⅱ）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为，则由中点坐标公式，得
， ．
∴ ． 又 为等腰直角三角形，
∴ ， ∴
即面积最大值为
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