选修2–2（导数及其应用1.1–1.3）
选择题
1．设函数可导，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．（2007年浙江卷）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
3．（2007年江西卷）设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．已知函数，在处函数极值的情况是（ ）
A．没有极值 B．有极大值 C．有极小值 D．极值情况不能确定
5．曲线在点的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知曲线在点M处有水平切线，则点M的坐标是（ ）．
A．（-15，76） B．（15，67） C．（15，76） D．（15，-76）
7．已知函数，则（ ）
A．在上递增 B．在上递减
C．在上递增 D．在上递减
8．（2007年福建卷）已知对任意实数，有，且时，，则时（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．函数的单调递增区间是_____________．
10．若一物体运动方程如下：
则此物体在和时的瞬时速度是________．
11．曲线在点（－1，－1）处的切线的倾斜角是________．
12．已知，且，设， 在上是减函数，并且在（－1，0）上是增函数,则=________．
13．（2006年湖北卷）半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于的式子： ,式可以用语言叙述为： ．
14．（2007年江苏卷）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则 .
三、解答题
15．（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；
（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度.
16. 设函数是定义在［－1，0）∪（0，1］上的奇函数，当x∈［－1，0）时，（a∈R).
（1）当x∈(0，1］时，求的解析式；
（2）若a＞－1，试判断在（0，1）上的单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在a，使得当x∈（0，1）时，f(x)有最大值－6.
17．函数 对一切实数均有成立，且，
（1）求的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
18．（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面,中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
19．（2006年天津卷）已知函数，其中为参数，且．
（1）当时，判断函数是否有极值；
（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．
20.（2007年广东高考压轴题）已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）
（1）求的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有>a；
（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn.
高二(下)数学周周练系列 (3) 理科参考答案
选修2–2（导数及其应用1.1–1.3）
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
C
A
C
D
B
二、填空题
9．与．10．0
11． 12．4.
13．V球＝，又 故式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数.”
14．32．
三、解答题
15.分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数.
解：（1），，
即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0.
因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1.
（2） .
.
16.（1）解：设x∈(0，1］，则－x∈［－1，0)，f(－x)=－2ax+，
∵f(x)是奇函数.∴f(x)=2ax－，x∈(0，1］.
（2）证明：∵f′(x)=2a+，
∵a>－1，x∈(0，1］，>1，∴a+>0.即f′(x)>0.
∴f(x)在（0，1］上是单调递增函数.
（3）解：当a>－1时，f(x)在（0，1］上单调递增.
f(x)max=f(1)=－6，a=－(不合题意，舍之），
当a≤－1时，f′(x)=0，x=.
如下表：fmax(x)=f()=－6，解出a=－2. x=∈(0，1).
（－∞，）
（，+∞）
+
0
－
最大值
∴存在a=－2，使f(x)在（0，1）上有最大值－6.
17. （Ⅰ）因为,
令，
再令.
（Ⅱ）由知,即.
由恒成立，等价于恒成立，即．
当时，．
故．
18.解：设OO1为，则.
由题设可得正六棱锥底面边长为：
，（）
故底面正六边形的面积为：
=，（）
帐篷的体积为：
（）
求导得.令，
解得（不合题意，舍），，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数.
∴当时，最大.
答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为.
19. （Ⅰ）解：当时，，
则在内是增函数，故无极值.
（Ⅱ）解：，令，得.
由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.
当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：
x
0
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此，函数在处取得极小值，且
.
要使，必有，可得.
由于，故
②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：
+
0
-
0
+
极大值
极小值
因此，函数处取得极小值，且
若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.
综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.
（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数.
由题设，函数内是增函数，
则a须满足不等式组
或
由（II），参数时时，。
要使不等式关于参数恒成立，必有，即.
综上，解得或.
所以的取值范围是.
20．解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，
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∴；
（2），
=，
∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），
∴，
同样，……，（n=1,2,……），
（3），
而，即，
，
同理，，
又.
.
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