高中新课标选修（2-2）推理与证明综合测试题
一、选择题
1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ）
Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件
答案：Ａ
2．结论为：能被整除，令验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ）
Ａ． Ｂ．且 Ｃ．为正奇数 Ｄ．为正偶数
答案：Ｃ
3．在中，，则一定是（ ）
Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定
答案：Ｃ
4．在等差数列中，若，公差，则有，类经上述性质，在等比数列中，若，则的一个不等关系是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
5．（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，
（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（ ）
Ａ．与的假设都错误
Ｂ．与的假设都正确
Ｃ．的假设正确；的假设错误
Ｄ．的假设错误；的假设正确
答案：Ｄ
6．观察式子：，，，，则可归纳出式子为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｃ
7．如图，在梯形中，．若，到与的距离之比为，则可推算出：．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形中，延长梯形两腰相交于点，设，的面积分别为，且到与的距离之比为，则的面积与的关系是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
8．已知，且，则（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
9．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
Ａ．假设都是偶数
Ｂ．假设都不是偶数
Ｃ．假设至多有一个是偶数
Ｄ．假设至多有两个是偶数
答案：Ｂ
10．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
11．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，，，其中，且，下面正确的运算公式是（ ）
①；
②；
③；
④；
Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①②③④
答案：Ｄ
12．正整数按下表的规律排列
则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
二、填空题
13．写出用三段论证明为奇函数的步骤是 ．
答案：满足的函数是奇函数， 大前提
， 小前提
所以是奇函数． 结论
14．已知，用数学归纳法证明时，等于 ．
答案：
15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为 ．
答案：三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：
设第个图有个树枝，则与之间的关系是 ．
答案：
三、解答题
17．如图（1），在三角形中，，若，则；若类比该命题，如图（2），三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有什么结论？命题是否是真命题．
解：命题是：三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有是一个真命题．
证明如下：
在图（2）中，连结，并延长交于，连结，则有．
因为面，，所以．
又，所以．
于是．
18．如图，已知矩形所在平面，分别是的中点．
求证：（1）平面；（2）．
证明：（1）取的中点，连结．
分别为的中点．
为的中位线，
，，而为矩形，
，且．
，且．
为平行四边形，，而平面，平面，
平面．
（2）矩形所在平面，
，而，与是平面内的两条直交直线，
平面，而平面，
．
又，．
19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．
证明：（分析法）设圆和正方形的周长为，依题意，圆的面积为，
正方形的面积为．
因此本题只需证明．
要证明上式，只需证明，
两边同乘以正数，得．
因此，只需证明．
上式是成立的，所以．
这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．
20．已知实数满足，，求证中至少有一个是负数．
证明：假设都是非负实数，因为，
所以，所以，，
所以，
这与已知相矛盾，所以原假设不成立，即证得中至少有一个是负数．
21．设，（其中，且）．
（1）请你推测能否用来表示；
（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．
解：（1）由，
又，
因此．
（2）由，即，
于是推测．
证明：因为，（大前提）．
所以，，，（小前提及结论）
所以．
22．若不等式对一切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明结论．
解：当时，，即，
所以．
而是正整数，所以取，下面用数学归纳法证明：．
（1）当时，已证；
（2）假设当时，不等式成立，即．
则当时，
有
．
因为，
所以，
所以．
所以当时不等式也成立．
由（1）（2）知，对一切正整数，都有，
所以的最大值等于25．
www.ks5u.com
高中新课标选修（2-2）推理与证明综合测试题
一、选择题
1．下面使用的类比推理中恰当的是（ ）
Ａ．“若，则”类比得出“若，则”
Ｂ．“”类比得出“”
Ｃ．“”类比得出“”
Ｄ．“”类比得出“”
答案：Ｃ
2．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（ ）
Ａ．25 Ｂ．66 Ｃ．91 Ｄ．120
答案：Ｃ
3．推理“①正方形是平行四边形；②梯形不是平行四边形；③所以梯形不是正方形”中的小前提是（ ）
Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．①和②
答案：Ｂ
4．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（ ）
Ａ．1 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
5．在证明命题“对于任意角，”的过程：“”中应用了（ ）
Ａ．分析法 Ｂ．综合法 Ｃ．分析法和综合法综合使用 Ｄ．间接证法
答案：Ｂ
6．要使成立，则应满足的条件是（ ）
Ａ．且 Ｂ．且
Ｃ．且 Ｄ．且或且
答案：Ｄ
7．下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（ ）
Ａ．三角形 Ｂ．梯形 Ｃ．平行四边形 Ｄ．矩形
答案：Ｃ
8．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ）
Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角
Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角
答案：Ｃ
9．用数学归纳法证明能被8整除时，当时，对于可变形为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
10．已知扇形的弧长为，所在圆的半径为，类比三角形的面积公式：底高，可得扇形的面积公式为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．不可类比
答案：Ｃ
11．已知，，，则以下结论正确的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．，大小不定
答案：Ｂ
12．观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｂ
www.ks5u.com
二、填空题
13．已知，则中共有 项．
答案：
14．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：，，
，根据以上不等式的规律，请写出对正实数成立的条件不等式 ．
答案：当时，有
15．在数列中，，，可以猜测数列通项的表达式为 ．
答案：
16．若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积 ．
答案：
三、解答题
17．已知是整数，是偶数，求证：也是偶数．
证明：（反证法）假设不是偶数，即是奇数．
设，则．
是偶数，
是奇数，这与已知是偶数矛盾．
由上述矛盾可知，一定是偶数．
18．已知命题：“若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．
解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数列，则数列也是等差数列．
证明如下：
设等差数列的公差为，则，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
www.ks5u.com
19．已知，且，求证：．
证明：因为，且，
所以，，要证明原不等式成立，只需证明r，
即证，从而只需证明，
即，
因为，，
所以成立，故原不等式成立．
20．用三段论方法证明：．
证明：因为，所以（此处省略了大前提），
所以（两次省略了大前提，小前提），
同理，，，
三式相加得．
（省略了大前提，小前提）
21．由下列不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：
．
用数学归纳法证明如下：
（1）当时，，猜想成立；
（2）假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立．
22．是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在，使得所给等式成立．
令代入等式得解得
以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立．
（1）当时，由以上可知等式成立；
（2）假设当时，等式成立，即，
则当时，
．
由（1）（2）知，等式结一切正整数都成立．
www.ks5u.com
【点此下载】