高中新课标选修（2-2）推理与证明综合测试题
一、选择题
1．下面使用的类比推理中恰当的是（ ）
Ａ．“若，则”类比得出“若，则”
Ｂ．“”类比得出“”
Ｃ．“”类比得出“”
Ｄ．“”类比得出“”
答案：Ｃ
2．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（ ）
Ａ．25 Ｂ．66 Ｃ．91 Ｄ．120
答案：Ｃ
3．推理“①正方形是平行四边形；②梯形不是平行四边形；③所以梯形不是正方形”中的小前提是（ ）
Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．①和②
答案：Ｂ
4．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（ ）
Ａ．1 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
5．在证明命题“对于任意角，”的过程：“”中应用了（ ）
Ａ．分析法 Ｂ．综合法 Ｃ．分析法和综合法综合使用 Ｄ．间接证法
答案：Ｂ
6．要使成立，则应满足的条件是（ ）
Ａ．且 Ｂ．且
Ｃ．且 Ｄ．且或且
答案：Ｄ
7．下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（ ）
Ａ．三角形 Ｂ．梯形 Ｃ．平行四边形 Ｄ．矩形
答案：Ｃ
8．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ）
Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角
Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角
答案：Ｃ
9．用数学归纳法证明能被8整除时，当时，对于可变形为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
10．已知扇形的弧长为，所在圆的半径为，类比三角形的面积公式：底高，可得扇形的面积公式为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．不可类比
答案：Ｃ
11．已知，，，则以下结论正确的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．，大小不定
答案：Ｂ
12．观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｂ
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二、填空题
13．已知，则中共有 项．
答案：
14．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：，，
，根据以上不等式的规律，请写出对正实数成立的条件不等式 ．
答案：当时，有
15．在数列中，，，可以猜测数列通项的表达式为 ．
答案：
16．若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积 ．
答案：
三、解答题
17．已知是整数，是偶数，求证：也是偶数．
证明：（反证法）假设不是偶数，即是奇数．
设，则．
是偶数，
是奇数，这与已知是偶数矛盾．
由上述矛盾可知，一定是偶数．
18．已知命题：“若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．
解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数列，则数列也是等差数列．
证明如下：
设等差数列的公差为，则，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
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19．已知，且，求证：．
证明：因为，且，
所以，，要证明原不等式成立，只需证明r，
即证，从而只需证明，
即，
因为，，
所以成立，故原不等式成立．
20．用三段论方法证明：．
证明：因为，所以（此处省略了大前提），
所以（两次省略了大前提，小前提），
同理，，，
三式相加得．
（省略了大前提，小前提）
21．由下列不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：
．
用数学归纳法证明如下：
（1）当时，，猜想成立；
（2）假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立．
22．是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在，使得所给等式成立．
令代入等式得解得
以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立．
（1）当时，由以上可知等式成立；
（2）假设当时，等式成立，即，
则当时，
．
由（1）（2）知，等式结一切正整数都成立．
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