第二章 圆锥曲线与方程 单元测试
A组题（共100分）
选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上，那么 （ ）
（A）曲线C上的点的坐标都适合方程F(x,y)=0
（B）凡坐标不适合F(x,y)=0的点都不在C上
（C）在曲线C上的点的坐标不一定都适合F(x,y）=0
（D）不在曲线C上的点的坐标有些适合F(x,y）=0，有些不合适F(x,y）=0
2．到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是 （ ）
（A）x–y= 0 （B）x + y=0 （C）|x|=|y| （D）y=|x|
3．已知椭圆方程为，焦点在x轴上，则其焦距等于 （ ）
（A）2 （B）2 （C）2 （D）2
4．已知椭圆上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于 （ ）
（A）2 （B） 4 （C） 8 （D）
5．已知F是椭圆(a>b>0)的左焦点, P是椭圆上的一点, PF⊥x轴, OP∥AB(O为原点), 则该椭圆的离心率是 ( )
（A） （B）
（C） (D)
填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。
6．椭圆的一个焦点是，那么
7．椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4, 短轴长为8, 则椭圆的标准方程是 .
8．已知点（0, 1)在椭圆内，则m的取值范围是 .
9．椭圆的准线平行于x轴, 则m的取值范围是 .
解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10．直线x–y–m= 0与椭圆有且仅有一个公共点，求m的值.
11．已知椭圆的两条对称轴是坐标轴，O是坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长为6, 且cos∠OFA= , 求椭圆的方程.
12．若一个动点P(x, y)到两个定点A(–1, 0)、B(1, 0)的距离之和为定值m（m＞0）,分别根据m的值，求点P的轨迹方程.
(1)m＝4；(2)m＝2；(3)m＝1.
B组题（共100分）
选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
13．命题A：两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B：曲线F(x,y)+λg(x,y)=0(λ为常数）过点P(x0,y0)，则命题A是命题B的 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
14．到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹方程是 （ ）
（A）3x–4y=0, 且x＞0 （B）4x–3y=0, 且0≤y≤4
（C）4y–3x=0,且0≤x≤3 （D）3y–4x=0,且y＞0
15．椭圆的焦距为2,则m的值等于 （ ）
（A）5或3 （B）8 （C）5 （D）16
16．已知F1、F2为椭圆(a＞b＞0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB, 若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率e= , 则椭圆的方程为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
17．若椭圆的离心率为, 则m的值等于 （ ）
（A）18或 （B）18或 （C）16或 （D）16或
填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。
18．方程表示椭圆，则k的取值范围是 .
19．椭圆＋＝1上有一点P到一条准线的距离是，F1、F2是椭圆的两个焦点，则△PF1F2的面积等于 .
20．已知P是椭圆上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于8, 则点P的横坐标是 。
21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆左顶点为A，上顶点为B，左焦点F1到直线AB的距离为|OB|，则椭圆的离心率等于 .
解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22．已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(–5, 0)、(5, 0)，边AC、BC所在直线的斜率之积为–，求顶点C的轨迹方程.
23．在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O，椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。
（1）求圆C的方程；
（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。
24. 已知椭圆,P为该椭圆上一点.
(1)若P到左焦点的距离为3,求到右准线的距离；
(2)如果F1为左焦点,F2为右焦点,并且,求的值.
C组题（共50分）
选择或填空题：本大题共2题，每题5分。
25．若实数x，y满足，则x2 + y2有 （ ）
（A）最小值，无最大值 （B）最小值，最大值16
（C）最小值0，无最大值 （D）最小值0，最大值16
26．已知θ∈(0, ), 方程x2sinθ + y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆，则θ的取值范围是 .
解答题：本大题共2小题，每题20分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
27．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
（1）求椭圆的方程
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点 问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由
28．已知直线l: 6x－5y－28=0交椭圆于M , N两点,B（0,b）是椭圆的一个顶点,且b为整数,而MBN的重心恰为椭圆的右焦点F2.
(1)求此椭圆的方程;
(2)设此椭圆的左焦点为F1,问在椭圆上是否存在一点P,使得?并证明你的结论.
参考答案
A组
一、1. C 2. C 3. A 4. B 5. A
二、6．1
7．答：. 由解得a＝5，又椭圆焦点在y轴上，∴椭圆方程为.
8．答：[1, 5)(5,+∞).
9．答：m＞1. ∵椭圆的准线平行于x轴，∴椭圆的焦点在y轴上，∴,
解得m＞1.
三、10. 解：将直线方程代入椭圆方程，消去x得到10y2+2my+m2－9=0,
令△＝0，解得m＝±.
11．解：依题意cos∠OFA= ＝，又2a＝6 , ∴a＝3，c=2，b2＝5.
当焦点在x轴上时，椭圆方程为；
当焦点在y轴上时，椭圆方程为.
12．解：设P(x,y), 依题意|PA |+|PB |=m,
即.
(1)当m＝4时，由
化简得点P的轨迹方程是：
.
(2)当m＝2时，由
化简得点P的轨迹方程是：
y=0，（－1≤x≤1)
(3)m＝1时，
无解，∴点P的轨迹不存在.
B 组
13. A 14.B 15.A 16.D 17.B
18．答：(–16, 4)(4, 24). 由k ∈(–16, 4)(4, 24).
19．答：3. ∵e＝，|PF1|＝e＝2，|PF2|＝8，|F1F2|＝8，∴PF1边上的高h=,
∴△PF1F2面积等于|PF1|·h＝3.
20．答：x=±. 设P(x,y)，由·8·|y|=8,得|y|＝4，∴x＝±.
21．答：e＝. ∵ F1(－c, 0)到直线AB：bx－ay＋ab＝0的距离为，e＝，∴8e2－14e＋5＝0，解得e＝.
22．分析 因为直线AC、BC的斜率存在，所以可分别用点C、A的坐标和点C、B的坐标，表示直线AC、BC的斜率，再根据条件：斜率之积为–，即可得到动点C的轨迹方程.
解 设C(x, y), 则
（x≠±5）
由
所以动点C的轨迹方程为
(x≠±5）
23．解：（1）圆C：；
（2）由条件可知a=5，椭圆，∴F（4，0），若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；
直线CF的方程为y－1=,即，设Q（x,y），则，
解得
所以存在，Q的坐标为。
24.解:(1)由方程知,a=5,b=4,则c=3,e =.
P到左焦点的距离为3,则P到左准线的距离为,
又两准线间距离为,∴P到右准线的距离为.
(2)由椭圆定义得…①;
又…②,
由①,②联立可解得;在
中,,
∴,
∵为锐角,,
∴.
C组
25．选D.
26. 答：θ∈(, ). 椭圆方程化为,∵椭圆焦点在y轴上，∴
∴, 又θ∈(0, ),∴θ∈(, ).
27．解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0
依题意 解得
∴ 椭圆方程为
（2）假若存在这样的k值，由得
∴ ①
设， ，，则 ②
而
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即
∴ ③
将②式代入③整理解得 经验证，，使①成立
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E
28．解 (1)设M(x1,y1),N(x2,y2),则,
两式相减得……①,
由,得x1+x2=3c, y1+y2=－b,代入①
得2b2－5bc+2c2=02b=c或b=2c……②;
∵M、N在直线L上,得6(x1+x2)-5(y1+y2)=56 18c+5b=56 …… ③;
由②③解得(b为整数): b = 4 , c = 2 , a2 = 20 ,
因此椭圆方程为:.
（2）证明: ,
∴,
∴使的点P不存在.
说明：第23题为2007年广东高考理科数学试题.存在性问题的探索一直是数学高考命题关注的问题之一.
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