第三章 空间向量与立体几何
一、选择题
1．下列各组向量中不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．若A，B，C，则△ABC的形状是（ ）
A．不等边锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
5．若A，B，当取最小值时，的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．空间四边形中，，，
则<>的值是（ ）
A． B． C．－ D．
二、填空题
1．若向量，则__________________。
2．若向量，则这两个向量的位置关系是___________。
3．已知向量，若，则______；若则______。
4．已知向量若则实数______，_______。
5．若，且，则与的夹角为____________。
6．若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则________________。
7．已知空间四边形，点分别为的中点，且，用，，表示，则=_______________。
8．已知正方体的棱长是，则直线与间的距离为 。
空间向量与立体几何解答题精选（选修2--1）
1．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。
（Ⅰ）证明：面面；
（Ⅱ）求与所成的角；
（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小。
证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
.
（Ⅰ）证明：因
由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.
（Ⅱ）解：因
（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使
要使
为
所求二面角的平面角.
2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,
平面底面．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小．
证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.
（Ⅰ）证明：不防设作，
则， ，
由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直. ∴平面.
（Ⅱ）解：设为中点，则，
由
因此，是所求二面角的平面角，
解得所求二面角的大小为
3．如图，在四棱锥中，底面为矩形，
侧棱底面，，，，
为的中点.
（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，
并求出点到和的距离.
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则的坐标为、
、、、
、，
从而
设的夹角为，则
∴与所成角的余弦值为.
（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则
，由面可得，
∴
即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.
4．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中
.
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设.
∵为平行四边形，
（II）设为平面的法向量，
的夹角为，则
∴到平面的距离为
5．如图，在长方体，中，，点在棱上移动.（1）证明：；
（2）当为的中点时，求点到面的距离；
（3）等于何值时，二面角的大小为.
解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则
（1）
（2）因为为的中点，则，从而，
，设平面的法向量为，则
也即，得，从而，所以点到平面的距离为
（3）设平面的法向量，∴
由 令，
∴
依题意
∴（不合，舍去）， .
∴时，二面角的大小为.
6．如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，，已知，求：
（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的平面角的正切值.
解：（I）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系.
由于，
在三棱柱中有
,
设
又侧面，故. 因此是异面直线的公垂线，
则，故异面直线的距离为.
（II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角.
7．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上
一点，. 已知
求（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的大小.
解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为
轴建立空间直角坐标系.
由已知可得
设
由，
即 由，
又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线
,的距离为.
（Ⅱ）作，可设.由得
即作于，设，
则
由，
又由在上得
因故的平面角的大小为向量的夹角.
第三章 空间向量
一、选择题
1．D 而零向量与任何向量都平行
2．A 关于某轴对称，则某坐标不变，其余全部改变
3．C
4．A ，，得为锐角；
，得为锐角；，得为锐角；所以为锐角三角形
5．C
，当时，取最小值
6．D
二、填空题
1． ，
2．垂直
3．若，则；若，则
4．
5．
6．
7．
8．
设
则，而另可设
，
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