第三章：数系的扩充与复数的引入
一、选择题:
1. 设为复数，则“”是“”的 （ ）
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
2. 已知，则的值为 （ ）
(A)-1 (B)4 (C)0 (D)2
3. 已知，，则的关系是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
4. 复平面内两点对应的复数分别为，则向量对应的复数是（ ）
5. 复平面内两点对应的复数分别为，则向量对应的复数是（ ）
6. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 计算的结果为（ ）
A. B. C. 1 D.
8. 若，则z对应的点的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 两点 C. 线段 D. 直线
9. 在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于 ( )
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限
10. 设复数z满足 （ ）
（A）0 （B）1 （C） （D）2
二、填空题:
11. 设、为实数，且，则+=_________.
12. 已知复数复数满足则复数=______.
13. 若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为 ．
14. 已知虚数()的模为,则的最大值是 ，
的最小值为 .
三、解答题:
15.
16.
17.
18. 若复数z满足，求证：
19. 若复数z满足，求的最大、最小值。
20. 设是关于的方程的两个根，求的值.
第三章：数系的扩充与复数的引入测试题答案
１．A ２．B ３．D ４．D ５．D 6．C 7. D 8. A 9.B 10. C 11.4 12. 13. 14． 15. 证明：充分性：
, ,。
必要性：
，。
16. 解：
，
17.
方法一：，
（这是关于x，y的二元函数，消元略显繁琐，因此代数解法不简明，换角度看问题。）
方法二：，
方法三：（可利用复数运算几何意义化归为几何问题）
，
而|z|则表示该圆上的点到原点O的距离，
由平面几何知识可知，使圆上的点到原点距离取最大（最小）值的点在直线OC与圆的交点处。
注：对比以上三种方法，几何法，即方法三更为直观便捷，应是解此类最值问题的首选方法。
18. 证明：设
， ，
19. 解法一：数形结合法
设，则，
化简，得，。
表示点到原点O（0，0）的距离，而点（x，y）在圆C上。
由平面几何知识，可知|z|的最大值为，最小值为。
解法二：利用复数的模的性质
，即，去绝对值，得
解这个关于的不等式，得，当时，上式取等号
由，把代入得，解得或
当时，取最大值； 当时，取最小值。
20. ，
（1）当，即时，方程有两个实根：，，
(a)当时，==2；
(b)当时，=；
（2）当，即时，方程有两个共轭虚根：，
=.
综上所述：=.
【点此下载】